ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Определенный интеграл широко используется в различных приложениях, например, при вычислении площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых, объемов тел вращения, площадей поверхностей вращения, работы переменной силы на отрезке, пути, пройденного за промежуток времени, статических моментов и моментов инерции плоских дуг и фигур и т. д.

Площади плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Теорема. Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями , где для всех , и прямыми , , то ее площадь вычисляется по формуле:

(11)

Рис. 1 Рис. 2

Пример.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

x –1 –2 –3 –4
y –2 –1 –1

Для построения прямой достаточно двух точек, например и .

Найдем координаты точек и пересечения параболы и прямой .

Для этого решим систему уравнений

Тогда Итак,

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (11), в которой

поскольку для всех . Получим:

Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными

Параметрически

Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные первого порядка для всех , то площадь плоской фигуры, ограниченной линией прямыми x = a, x = b, где a = x(t0), b = x(t1), и осью OX, вычисляется по формуле:

(12)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра

t
x –2
y –3

 

Рис. 3

Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр изменяется от до , соответствующая точка описывает эллипс (известно, что — параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (12) получим:

Заметим, что для вычисления площади по формуле (9), построение чертежа не является обязательным, а носит иллюстративный характер.








Дата добавления: 2016-09-20; просмотров: 649;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.