ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть требуется вычислить , где функция непрерывна на отрезке Точками разобьём отрезок на n равных частей, длина каждой из которых равна
Обозначим значения функции в точках разбиения.
Метод прямоугольников
Учитывая геометрический смысл определённого интеграла и заменяя приближённо площади маленьких криволинейных трапеций площадями соответствующих прямоугольников, получим:
Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем:
(17)
Формула (17) называется формулой левых прямоугольников для приближённого вычисления определённого интеграла. Выбирая прямоугольники другим способом, получим формулу правых прямоугольников:
(18)
Чем больше число разбиений n, тем точнее приближённое значение определённого интеграла, вычисленного по формулам (17) и (18).
Чтобы оценить найденное приближённое значение определённого интеграла число n отрезков разбиения увеличивают в два раза и сравнивают полученные значения интегралов и оставляют первые совпадающие знаки, если точность недостаточна, то снова удваивают число разбиений.
Отметим, что погрешность R формул прямоугольников оценивается формулой: где М1 – верхняя граница модуля первой производной функции на отрезке , т.е.
Метод трапеций
Каждую маленькую криволинейную трапецию приближённо заменим линейной трапецией, площадь которой Тогда
Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем:
(19)
Формула (19) называется формулой трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла. Для погрешности R формулы (19) cпра-ведлива оценка где М2 – верхняя граница модуля второй производной функции на отрезке , т.е.
Мы привели только два метода приближённого вычисления определённого интеграла, существует и другие численные методы вычисления определённых интегралов, учитывающих особенности подынтегральных функций.
Дата добавления: 2016-09-20; просмотров: 576;