ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пусть требуется вычислить , где функция непрерывна на отрезке Точками разобьём отрезок на n равных частей, длина каждой из которых равна

Обозначим значения функции в точках разбиения.

Метод прямоугольников

Учитывая геометрический смысл определённого интеграла и заменяя приближённо площади маленьких криволинейных трапеций площадями соответствующих прямоугольников, получим:

Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем:

(17)

Формула (17) называется формулой левых прямоугольников для приближённого вычисления определённого интеграла. Выбирая прямоугольники другим способом, получим формулу правых прямоугольников:

(18)

Чем больше число разбиений n, тем точнее приближённое значение определённого интеграла, вычисленного по формулам (17) и (18).

Чтобы оценить найденное приближённое значение определённого интеграла число n отрезков разбиения увеличивают в два раза и сравнивают полученные значения интегралов и оставляют первые совпадающие знаки, если точность недостаточна, то снова удваивают число разбиений.

Отметим, что погрешность R формул прямоугольников оценивается формулой: где М1 – верхняя граница модуля первой производной функции на отрезке , т.е.

Метод трапеций

Каждую маленькую криволинейную трапецию приближённо заменим линейной трапецией, площадь которой Тогда

Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем:

(19)

Формула (19) называется формулой трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла. Для погрешности R формулы (19) cпра-ведлива оценка где М2 – верхняя граница модуля второй производной функции на отрезке , т.е.

Мы привели только два метода приближённого вычисления определённого интеграла, существует и другие численные методы вычисления определённых интегралов, учитывающих особенности подынтегральных функций.

 








Дата добавления: 2016-09-20; просмотров: 574;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.