Знакопеременные ряды

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.
Знакочередующимся называется ряд вида
, где .
Ряды вида также называются знакочередующимися.
Признак абсолютной сходимости
Знакопеременный ряд
(4)
сходится, если сходится ряд
(5)
Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся. При этом сходимость ряда (4) можно в ряде случаев установить без исследования ряда (5).
Признак сходимости Лейбница
Пусть имеется знакочередующийся ряд .
Если одновременно выполняются следующие два условия:
1) ,
2) , то такой ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена: .

Степенные ряды

Определение. Ряд вида называется степенным рядом. Здесь постоянные величины a₁, a₂, …, a_k,… – коэффициенты ряда, a₀ – свободный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных рядов вида
(6)
Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного ряда имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он находится по формуле:
. (7)
Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).
Разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет следующий вид: (8)
Наиболее употребительны разложения следующих функций:
;
;
;
;
.
Пример. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену , найти область сходимости ряда если .
Решение. Первые три члена ряда будут:
Имеем .
Определяем радиус сходимости:
.
Интервал сходимости имеет вид: .
Пусть . Получаем числовой ряд:
.
Применяем к этому знакочередующемуся ряду признак Лейбница:
; (1)
. (2)
Оба условия выполняются, следовательно ряд при сходится.
Пусть . Имеем числовой ряд:
.
Сравнивая с расходящимся гармоническим рядом видим, что, начиная с n=2, выполняется- неравенство , поэтому по признаку сравнения ряд расходится (так как расходится гармонический ряд). Область сходимости ряда .
Пример. Вычислить с точностью до 0,0001, используя разложение в ряд Маклорена.
Решение.
 Преобразуем

Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по абсолютной величине, поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.
Очевидно, что 2∙0,00001<0,0001.
Следовательно, .