Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.

Мнимая ось jb является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (p_k=+jb , p_k+i= -jb_k ), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой w = |b_k|. В этом случае говорят, что система находится на колеба­тельной границе устойчивости.

Точка b = 0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.

Не следует забывать, что линейные урав­нения реальных систем типа (4.1), как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает во­прос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы, не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при ли­неаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским ма­тематиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеари­зованному уравнению нельзя. Таким образом, для суждения об устойчивости линейной си­стемы достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.

В теории автоматического управления разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая ха­рактеристическое уравнение и не находя числовые значения са­мих корней. Эти правила называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости могут быть алгебраическими и частот­ными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и до­статочные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов ха­рактеристического уравнения. Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характе­ристик системы.

При анализе устойчивости систем управления обычно решают одну или несколько задач:

1) оценивают, устойчива или нет система при заданных параметрах;

2) определяют допустимый по условию устойчивости диапазон изменения некоторых незаданных парамет­ров системы;

3) выясняют, может ли система при заданной струк­туре быть в принципе устойчивой.