Алгебраические критерии устойчивости

Простейшим критерием устойчивости является условие положи­тельности коэффициентов характеристического уравнения. Поло­жительность коэффициентов уравнения (8.4) является необходимым (но не достаточным!) условием устойчивости системы. Это означает, что если все коэффициенты положительны, то система может быть устойчивой или неустойчивой. Но если хотя бы один коэффициент уравнения отрицателен или равен нулю, то система неустойчива.

Наиболее распространены в инженерной практике критерий Гурвица.

Критерий Гурвица был сформулирован и доказан в 1895 г. не­мецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой кри­терий, решая чисто математическую задачу — задачу исследова­ния устойчивости решений линейного дифференциального уравне­ния. Применительно к задачам теории управления критерий Гур­вица можно сформулировать так:

автоматическая система, описываемая характеристическим урав­нением 8.5 устойчива, если при а0> 0 положительны все определители D i вида

(4.9)

(Как составляется определитель матрицы i * i).

Если хотя бы один из определителей (4.9), называемых опреде­лителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Так как последний столбец главного определителя Dn содер­жит всегда только один элемент an, отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей Dn = an Dn-1.

Если главный определитель Dn == 0, а все остальные определи­тели положительны, то система находится на границе устойчивости. С учетом выражения (4.12) это условие распадается на два: an = 0 и Dn-1 = 0.

Условию аn. = 0 соответствует один нулевой корень, т. е. апе­риодическая граница устойчивости, а условию Dn-1 = 0 - пара мнимых корней, т. е. колебательная граница устойчивости.

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устой­чивости систем не выше пятого порядка. При п > 5 вычисление определителей становится громоздким.

Преимуществом критерия Гурвица является то, что с его помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем. Вывод об устойчивости при применении этого критерия делается применительно к той системе (замкнутой или разомкнутой), уравнение которой анализируется.

Недостатком является малая наглядность.

 









Дата добавления: 2016-04-22; просмотров: 551; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.014 сек.