Тело на наклонной плоскости

Пусть небольшое тело находится на наклонной плоскости с углом наклона a (рис. 14.3,а). Выясним: 1) чему равна сила трения, если тело скользит по наклонной плоскости; 2) чему равна сила трения, если тело лежит неподвижно; 3) при каком минимальном значении угла наклона a тело начинает соскальзывать с наклонной плоскости.

а) б)

Рис. 14.3

Сила трения будет препятство­вать движению, следовательно, она будет направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 14.3,б). Кроме силы трения, на тело действуют еще сила тяжести и сила нормальной реакции . Введем систему координат ХОУ, как по­казано на рисунке, и найдем проекции всех указанных сил на коор­динатные оси:

Х: F_трХ = –F_тр, N_X = 0, mg_X = mgsina;

Y: F_трY = 0, N_Y = N, mg_Y = –mgcosa.

Поскольку ускоряться тело может только по наклонной плоскости, то есть вдоль оси X, то очевидно, что проекция вектора ускорения на ось Y всегда будет равна нулю: а_Y = 0, а значит, сумма проекций всех сил на ось Y также должна равняться нулю:

F_трY + N_Y + mg_Y = 0 Þ 0 + N – mgcosa = 0 Þ

N = mgcosa. (14.4)

Тогда сила трения скольжения согласно формуле (14.3) равна:

F_тр.ск = mN = mmgcosa. (14.5)

Если тело покоится, то сумма проекций всех сил, действующих на тело, на ось Х должна равняться нулю:

F_трХ + N_Х + mg_Х = 0 Þ –F_тр + 0 + mgsina = 0 Þ

F_тр.п = mgsina. (14.6)

Если мы будем постепенно увеличивать угол наклона, то величина mgsina будет постепенно увеличиваться, а значит, будет уве­личиваться и сила трения покоя, которая всегда «автоматически подстраивается» под внешнее воздействие и компенсирует его.

Но, как мы знаем, «возможности» силы трения покоя не безгранич­ны. При каком-то угле a₀ весь «ресурс» силы трения покоя будет исчерпан: она достигнет своего максимального значения, равного силе трения скольжения. Тогда будет справедливо равенство:

F_тр.ск = mgsina₀.

Подставив в это равенство значение F_тр.ск из формулы (14.5), получим: mmgcosa₀ = mgsina₀.

Разделив обе части последнего равенства на mgcosa₀, получим:

Þ a₀ = arctgm.

Итак, угол a, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости, задается формулой:

a₀ = arctgm. (14.7)

Заметим, что если a = a₀, то тело может или лежать неподвижно (если к нему не прикасаться), или скользить с постоянной скоростью вниз по наклонной плоскости (если его чуть-чуть толкнуть). Если a < a₀, то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a > a₀, то тело будет соскальзывать с наклонной плоскости с ускорением и безо всяких толчков.

Задача 14.1. Человек везет двое связанных между собой саней (рис. 14.4,а), прикладывая силу F под углом a к горизонту. Массы саней одинаковы и равны т. Коэффициент трения полозьев по снегу m. Найти ускорение саней и силу натяжения Т веревки между санями, а также силу F₁, с которой должен тянуть веревку человек для того, чтобы сани двигались равномерно.

F a m m	а)	б) Рис. 14.4
а = ? Т = ? F1 = ?

Решение. Запишем второй закон Ньютона для каждых саней в проекциях на оси х и у (рис. 14.4,б):

I у: N₁ + Fsina – mg = 0, (1)

x: Fcosa – T – mN₁ = ma; (2)

II у: N₂ – mg = 0, (3)

x: T – mN₂ = ma. (4)

Из (1) находим N₁ = mg – Fsina, из (3) и (4) находим Т = mmg+ + ma. Подставляя эти значения N₁ и Т в (2), получаем

,

отсюда

.

Подставляя а в (4), получаем

T = mN₂ + ma = mmg + та =

= mmg + т .

Чтобы найти F₁, приравняем выражение для а к нулю:

.

Ответ: ; ;

.

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В6, С3.

Задача 14.2. Два тела массами т и М связаны нитью, как показано на рис. 14.5,а. С каким ускорением движется тело М, если коэффициент трения о поверхность стола m. Каково натяжение нити Т? Какова сила давления на ось блока?

т М m	Решение. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х1 и х2 (рис. 14.5,б), учитывая, что : х1: Т – mMg = Ма, (1) х2: mg – T = ma. (2) Решая систему уравнений (1) и (2), находим:
а = ? Т = ? R = ?

а)   б) Рис. 14.5

, . Заметим, что а ³ 0, только если т – mМ ³ 0, т.е. т ³ mМ. Если т < mМ, то а = 0, при этом Т = mg. На блок действует со стороны нити силы – и . Их равнодействующая , как видно из рис. 14,5б, по модулю равна .

Если грузы не движутся, то .

Ответ: 1) если т < mМ, то а = 0, Т = mg, ; 2) если т ³ mМ, то , , .

СТОП! Решите самостоятельно: В9–В11, С5.

Задача 15.3. Два тела массами т₁ и т₂ связаны нитью, перекинутой через блок (рис. 14.6). Тело т₁ находится на наклонной плоскости с углом наклона a. Коэффициент трения о плоскость m. Тело массой т₂ висит на нити. Найти ускорение тел, силу натяжения нити и силу давления блока на ось при условии, когда т₂ < т₁. Считать tga > m.

т1, т2 a, m т2 < т1 tga > m	Рис. 14.6	Решение. Заметим, что из условия т2 < т1 нельзя заключить, в каком направлении движется система тел (и движется ли вообще). Поэтому сначала предположим, что тело т2 движется вверх (рис. 14.7).
а = ? Т = ? R = ?

Рис. 14.7

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х₁ и х₂, учитывая, что и :

х₁: т₁gsina – Т – mm₁g cosa = m₁a,

х₂: T – m₂g = m₂a.

Решая эту систему уравнений, находим:

, .

Так как а >0, то

. (1)

Если неравенство (1) не выполняется, то груз т₂ точно не движется вверх! Тогда возможны еще два варианта: 1) система неподвижна; 2) груз т₂ движется вниз (а груз т₁, соответственно, вверх).

Предположим, что груз т₂ движется вниз (рис. 14.8).

Рис. 14.8

Тогда уравнения второго закона Ньютона на оси х₁ и х₂ будут иметь вид:

х₁: Т – т₁gsina – mm₁gcosa = m₁a,

х₂: m₂g – Т = m₂a.

Решая эту систему уравнений, находим:

, .

Так как а >0, то

. (2)

Итак, если выполняется неравенство (1), то груз т₂ едет вверх, а если выполняется неравенство (2), то – вниз. Следовательно, если не выполняется ни одно из этих условий, т.е.

,

система неподвижна.

Осталось найти силу давления на ось блока (рис. 14.9). Силу давления на ось блока R в данном случае можно найти как диагональ ромба АВСD. Так как

ÐADC = 180° – 2 ,

где b = 90°– a, то по теореме косинусов

R² = .

Отсюда .

Ответ:

1) если , то , ;

2) если , то , ;

3) если , то а = 0; Т = т₂g.

Во всех случаях .

СТОП! Решите самостоятельно: В13, В15.

Задача 14.4. На тележку массой М действует горизонтальная сила F (рис. 14.10,а). Коэффициент трения между грузом т и тележкой равен m. Определить ускорение грузов. Какой должна быть минимальная сила F₀, чтобы груз т начал скользить по тележке?

M, т F m	а)	б) Рис. 14.10
а1 = ? а2 = ? F0 = ?

Решение. Сначала заметим, что сила, приводящая груз т в движение, – это сила трения покоя , с которой тележка действует на груз. Максимально возможное значение этой силы равно mmg.

По третьему закону Ньютона груз действует на тележку с такой же по величине силой – (рис. 14.10,б). Проскальзывание начинается в тот момент, когда уже достигла своего максимального значения , но система еще движется как одно тело массой т+М с ускорением . Тогда по второму закону Ньютона

.

Если сила F > F₀, то каждое из тел движется со своим ускорением (а₁ ¹ а₂) и для каждого тела можно записать второй закон Ньютона:

т: mmg = та₁, а₁ = mg,

М: F – mmg = Mа₂, .

Ответ: ; если F £ F₀, то а₁ = а₂ , если F > F₀, то a₁ = μg, .

СТОП! Решите самостоятельно: С8, С9, С12.

Задача 14.5. Тело массы т находится на горизонтальном ленточном транспортере, движущемся со скоростью υ. Тело привязано нитью к вертикальной стене (рис. 14.11,а). Коэффициент трения между телом и лентой транспортера m. Какую силу следует приложить к телу в направлении, перпендикулярном движению транспортера, чтобы тело двигалось с постоянной скоростью и поперек транспортера? Считать и << υ.

υ и m	а)	б) (вид сверху)
F = ?

Рис. 14.11

Решение. Выясним, куда направлена сила трения скольжения, действующая со стороны транспортера на тело массы т. Сила всегда направлена в сторону, противоположную движению тела в с.о., связанной с поверхностью, по которой скользит тело.

Найдем скорость тела относительно ленты транспортера . Так как скорость груза относительно земли , а скорость транспортера , то = – (рис. 14.11,б). Скорость образует с осью х угол a:

tga = и/υ. (1)

Сила трения ­¯ , . Считая, что тело будет двигаться с постоянной скоростью ( ), можем записать второй закон Ньютона в проекции на ось у:

у: .

Учитывая, что и << υ, т.е. и/υ ® 0, можем считать tga » sina. Тогда согласно (1) имеем tga » sina = и/υ.

Отсюда получаем ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: С25, С26, D3.