ДИНАМИКА раВномерного ДВИЖЕНИЯ

ПО ОКРУЖНОСТИ

Пусть некоторое тело массой т движется по окружности радиуса r с постоянной по модулю скоростью υ (рис. 15.1). Вспомним, что угловая скорость .

Как мы знаем, в данном случае ускорение тела направ­лено к центру окружности и по модулю равно:

. (15.1)

Это ускорение называется центростремительным. Но для того чтобы тело двигалось с центростремительным ускорением, согласно второму закону Ньютона необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, действующих на тело, была направлена к центру окружности и равнялась по модулю:

R = та = . (15.2)

а) б) Рис. 15.2

Задача 15.1. Автомобиль массы т едет с постоянной скоростью υ по выпуклому мосту, радиус кривизны которого равен R (рис. 15.2). Найти силу нормальной реакции моста и силу трения, если радиус, проведенный в точку нахождения автомобиля составляет с вертикалью угол a.

т R υ a	Решение. На автомобиль действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции и сила трения покоя со стороны дороги (рис. 15.2,б). Заметим, что если бы не толкала автомобиль вперед, уравновешивая тем самым касательную составляющую силы тяжести , то автомобиль не мог бы двигаться равномерно!
N = ? Fтр = ?

Введем систему координат пОt, запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и :

п: –N + mgcosa = , (1)

t: F_тр – mgsina = 0. (2)

Из (1) и (2) получаем ответ: ; F_тр = mgsina.

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В2, С1.

Задача 15.2. На дно сферы радиуса R насыпали горсть песка. Где будут находиться песчинки после того, как сфера будет приведена во вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w? Трение песчинок о сферу мало.

R w	Решение.Пусть песчинки будут находиться в некоторой точке В (рис. 15.3). Тогда их положение можно считать заданным, если известен угол a, который образует радиус ОВ = R с вертикалью. На песчинки действуют две силы: и . Под действием этих сил песчинки движутся по окружности радиусом r = Rsina с центром в точке О¢.	Рис. 15.3
a = ?

Центростремительное ускорение направлено к точке О¢ и равно а = wr² = w²Rsina.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и :

Разделив (1) на (2), получим . Отсюда получаем ответ: .

Читатель: Косинус любого угла не больше 1, но значение g/w²R может быть и больше 1. Что бы это значило?

Автор: Если g/w²R = 1, т.е. , то a = 0. Значит, все песчинки находятся в нижней точке сферы – точке А. То же самое произойдет и в случае g/w²R > 1, т.е. если .

Читатель: Значит, если постепенно раскручивать сферу, то первое время все песчинки будут лежать в точке А, а как только w превысит значение , они постепенно поползут вверх по стенке сферы?

Автор: Да, но с небольшими оговорками: 1) песчинки должны лежат не точно в точке А, а чуть-чуть рядом, иначе они просто будут неподвижны и ; 2) если сфера абсолютно гладкая, то она не сможет увлечь в движение песчинки, т.е. сфера будет вращаться, а песчинки будут скользить по ней, оставаясь неподвижными относительно земли.

СТОП! Решите самостоятельно: В4, С2, С3.

Задача 15.3. Два маленьких шарика массами т₁ и т₂, привязанные легкими нерастяжимыми нитями (рис. 15.4,а), вращаются в горизонтальной плоскости с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси. Расстояния l₁ и l₂ заданы. Определите силы натяжения нитей. Силу тяжести не учитывать.

Рис. 15.4

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось (рис. 15.4,б) для каждого шарика:

т₁: Т₁ – Т₂ = тw²l₁, (1)

т₂: Т₂ = тw²(l₁ + l₂), (2)

Подставляя (2) в (1), получим Т₁ = тw²(2l₁ + l₂).

Ответ: Т₁ = тw²(2l₁ + l₂); Т₂ = тw²(l₁ + l₂).

СТОП! Решите самостоятельно: С5, С7, С9.

Задача 15.4. Конструкция на рис. 15.5,а вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси. Шарик скользит по стержню без трения, длина пружины в нерастянутом состоянии l₀, угол a задан. Определите жесткость пружины, если из-за вращения пружина увеличила свою длину на Dl.

w l0 a Dl	а)   Рис. 15.5	б)
k = ?

Решение. На шарик действуют три силы: , , , причем (рис. 15.5,б). Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси и , учитывая, что шарик движется по окружности радиуса R = (l₀ + Dl)sina:

у: Nsina – kDlcosa – mg = 0,

n: Ncosa + kDlsina = mw²(l₀ + Dl)sina.

Перепишем данную систему в виде

Разделив (1) на (2), получим:

tga = .

Решив данное уравнение относительно k, получаем ответ:

.

СТОП! Решите самостоятельно: С16, С18.

Задача 15.5. Металлическое кольцо радиуса R = 10 см и с площадью поперечного сечения S = 1,0 см² и массой т = 600 г раскручивают в горизонтальной плоскости (рис. 15.6). Известно, что если напряжение в металле превосходит величину s = 1,0×10⁸ Па, металл разрушается. С какой угловой скоростью w надо вращать кольцо, чтобы оно разорвалось на части?

R = 10 см = 0,10 м S = 1,0 см2 = 1,0×10–4 м2 т = 600 г = 0,600 кг s = 1,0×108 Па	Рис. 15.7
w = ?

Решение. Рассмотрим малый элемент кольца АВ массы Dт и длины Dl (рис. 15.7). Из рисунка видно, что . Со стороны остальной части кольца на этот элемент действуют силы и . Причем в силу симметрии | | = | | = Т. Эти силы и сообщают элементу АВ центростремительное ускорение , направленное к центру кольца, причем а = w²R.

Проекции сил и на ось , как видно из DACD и DBEF, равны: AD = BE = T_n = Tsin . Тогда в проекции на ось второй закон Ньютона примет вид

2Т_п = Dтw²R. (1)

Если т – масса всего кольца, а l – его длина, то

.

Подставляя в (1) значения Т_п и Dт, получим

.

Учтем, что при Da ® 0 sin , а , тогда

.

По определению напряжение равно

,

рад/с.

Как видим, угловая скорость требуется весьма приличная.

Ответ: кольцо разорвется при рад/с.

СТОП! Решите самостоятельно: D1, D2.