Равномерно движущаяся по окружности?

Читатель: Раз материальная точка движется равномерно, то ускорение, вроде бы, должно равняться нулю, ведь Dυ = 0, а значит,

= 0.

Автор: Верно. Путевое ускорение материальной точки, равномерно дви­жущейся по окружности действительно равно нулю, так как мгновенная путевая скорость, равная модулю мгновенной скорости перемещения в процессе движения не меняется. Но вектор мгновенной скорости перемещения постоянно меняет направление. Значит, на любом промежутке времени существу­ет и вектор изменения скорости: , а следовательно, на любом промежутке времени существует и среднее ускорение (см. рис. 12.3). Попробуем определить мгновенное ускорение для материальной точки, движущейся по окружности радиуса R с постоянной скоростью υ. Предупреждаю: задача эта – не самая простая.

Пусть материальная точка за малый промежуток времени переместилась по дуге окружности из точки А в точку В (рис. 12.4).

Напомним, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения (в данном случае к окружности).

Как мы знаем из геометрии, радиус окружности перпендикулярен к касательной к окружности в точке касания. Поэтому радиусы ОА и ОВ перпендикулярны векторам _н и _к соответственно: ОА ^ _н и OB ^ _к.

Теперь для того, чтобы построить вектор D , возьмем вектор (– _н), поместим начало этого вектора в конец вектора _к – точку С и построим вектор D = _к + (– _н) = (см. рис. 12.4).

Пусть ÐАОВ, на который повернулся радиус окружности при перемеще­нии материальной точки из А в В, равен Dj, тогда ÐВСD = =ÐАОВ = Dj, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: ОА^СD и OB^ВС.

Теперь рассмотрим два треугольника: АОВ и ВСD. Они равно­бедренные и имеют равные углы при вершине: АО = OB = R, ВС = = СD = υ. Следовательно, эти треугольники подобны: DАОВ ∾ DВСD. А из подобия треугольников следует:

, (1)

где ОА = R, ВD = |D |, ВС = υ.

Хорда АВ при малом угле Dj практически совпадает с дугой , а дуга – это путь, пройденный материальной точкой, которая двигалась со скоростью υ в течение времени Dt, следовательно: АВ = υDt. Подставляя значения ОА, ВD, ВС и АВ в (1), получим:

. (2)

Но , то есть это модуль искомого мгновенного ускорения, следовательно:

. (12.11)

Итак, модуль мгновенного ускорения мы нашли. Осталось только выяс­нить его направление.

Рассмотрим DВСD. Если Dj ® 0, то два остальных угла этого тре­угольника: ÐСВD = ÐСDВ ® 90^o, так как сумма углов треугольника равна 180^о. А значит, BD^BС, следовательно, D ^ _к.

Вектор _к направлен по касательной к окружности, а перпендикуляром к касательной в точке касания является радиус окружности. Получается, что вектор D должен быть направлен по радиу­су, т.е. к центру окружности.

Вектор ускорения , как мы знаем, сонаправлен с вектором D : , следовательно, мгновенное ускорение направлено к центру окружности. Поэтому ускорение, с которым материальная точка равномерно движет­ся по окружности, еще называется центростремительным (оно как бы стремится к центру).

Итак, мы выяснили, что если материальная точка движется по ок­ружности радиуса R равномерно со скоростью υ, то ее мгновенное ускорение в любой момент времени направлено к центру окружности и по модулю равно .