ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

Как мы уже знаем, мгновенным ускорением (или просто ускорением) называется векторная величина при Dt ® 0, где – изменение вектора скорости за время Dt.

Движение, при котором мгновенное ускорение постоянно = = , называется равнопеременным.

Пусть тело движется из точки, определяемой радиусом-вектором с начальной скоростью и с постоянным ускорением , пусть начальный момент времени равен t₀, тогда

(10.1)

. (10.2)

В координатной форме уравнения (10.1) и (10.2) имеют вид

(10.3)

(10.4)

Пусть тело брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью υ₀ (рис. 10.1). Тогда справедливы соотношения:

Время подъема тела t_п находится из условия

υ_у(t_п) = 0 Þ υ₀sina – gt_п = 0 Þ

. (10.9)

Время полета тела t_пол находится из условия

у (t_пол) = 0 Þ υ₀sinat_пол – = 0 Þ

. (10.10)

Высота подъема Н находится из условия

Н = у(t_п) Þ

Н = υ₀sinat_п – = υ₀sina ,

. (10.11)

Дальность полета L находится из условия

L = x(t_пол) Þ ,

. (10.12)

Если из (10.7) выразить t через х и подставить в (10.8), получим уравнение траектории у = у(х):

. (10.13)

Задача 10.1. Тело брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью υ₀. Определить зависимость модуля скорости от времени υ(t), а также зависимость угла между вектором скорости и горизонтальной осью х: b(t).

υ0 a	Решение. Согласно формулам (10.5) и (10.6) .
b(t) = ? υ(t) = ?
Из DО¢А¢В¢ (рис. 10.2): ; .	Рис. 10.2

Ответ: ;

.

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В2, С1.

Задача 10.2. Мотоциклист въезжает на высокий берег рва (рис. 10.3,а). Какую минимальную скорость должен иметь мотоциклист в момент отрыва от берега, чтобы перескочить ров?

a s h	а) б) Рис. 10.3
υотр = ?

Решение. Запишем уравнение движения мотоциклиста после отрыва от берега в проекциях на оси х и у (рис. 10.3,б):

В момент приземления τ: х(τ) = s, у(τ) = 0. Отсюда

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В5, В6, С3.

Задача 10.3. С высоты Н на наклонную плоскость, образующую угол a с горизонтом, свободно падает мяч и упруго отражается. Определите расстояния между местами 1-го и 2-го, 2-го и 3-го, …, п-го и п+1-го ударов о плоскость.

Н a	Решение. Введем с.о. х0у, такую, чтобы ось х была параллельна наклонной плоскости (рис. 10.4). 1. Пусть при ударе о наклонную плоскость скорость мяча равна υ0, тогда	Рис. 10.4
s12 = ? s23 = ? sn,n+1 =?
. 2. При ударе величина υх сохраняется, а υу меняет знак (рис. 10.5). Величина скорости υ0 при ударе не меняется. 3. Из рис. 10.4 видно, что ах = gsina, ay = –gcosa. 4. Из рис. 10.5 видно, что после удара
Рис. 10.5

υ_0х = υ₀sina, υ_0y = υ₀cosa.

5. Тогда согласно формулам (10.3) и (10.4)

υ_y(t) = υ₀cosa – gcosat, (1)

y(t) = υ₀cosat – (2)

(за начало движения принят момент первого удара).

6. В момент t₀ второго удара

y(t) = 0 Þ υ₀cosat₀ – ,

υ_у(t₀) = υ₀cosa – gcosa = – υ₀cosa.

7. Сразу же после удара скорость υ_y меняет знак и становится равной +υ₀cosa, т.е. такой же, как в момент после первого удара о наклонную плоскость!

8. Поскольку после второго удара значения υ_y и а_у будут точно такими же, как после первого удара, уравнения (1) и (2) не изменятся. Следовательно, время и между первым и вторым ударами, и между двумя последовательными ударами одно и то же и равно

.

9. Найдем координату х_п п-го удара мяча о наклонную плоскость. Пусть – время падения мяча из начального положения на наклонную плоскость. Тогда – время между двумя последовательными ударами. Отсюда время t_п от начала движения до п-го удара равно

t_n = τ₀ + (n – 1)t₀ = τ₀ + (n – 1)×2τ₀ = τ₀(2п –1).

Время t_n+1 от начала движения до (п + 1)-го удара t_n+1 = t_п + 2t₀ = = t₀(2п + 1).

Координата п-го удара х_п равна

х_п = х(t_п) = .

(Если за начало отсчета времени взять начало падения мяча, то υ_0х = 0, а зависимость х(t) имеет вид .)

10. Расстояние s_n,n+1 между п-м и (п+1)-м ударами равно

s_n,n+1 = х_п+1 – х_п =

= 8пHsina.

11. Тогда s₁₂ = 8×1×H×sina = 8Hsina, s₂₃ = 8×2×H×sina = 16Hsina.

Ответ: s₁₂ = 8Hsina; s₂₃ = 16Hsina; s_n,n+1 = 8пHsina.

СТОП! Решите самостоятельно: В7, В9, С8.

Задача 10.4. Цель, находящаяся на холме, видна с места располо­жения орудия под углом a к горизонту. Дистанция (расстоя­ние по горизонтали от орудия до цели) равна L. Стрельба по цели производится при угле возвышения b (рис. 10.6,а). Опре­делить начальную скорость υ₀ снаряда, попадающего в цель. Сопротивление воздуха не учитывать.

a, L, b	а) б) Рис. 10.6
υ0 - ?

Решение. Задачу можно решать по-разному. Можно выбрать координатные оси, как показано на рис. 10.6,а, тогда условие попадания в цель х(t_п) = L, y(t_п) = Ltga.

Можно выбрать с.о., какпоказано на рис. 10.6,б, тогда условием попадания в цель будет х(t_п) = , y(t_п) = 0.

Можно воспользоваться уравнением траектории у(х) (10.13):

у = хtgb – .

В момент падения снаряда x = L; y = Ltga (рис. 10.6,а), тогда

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В8, В10.

Задача 10.5.На некоторой высоте снаряд разорвался на два осколка, которые получили скорости и соответственно (рис. 10.7,а). Пренебрегая сопро­тивлением воздуха, определите, как будут двигаться осколки друг относительно друга. На каком расстоянии L будут находиться оскол­ки друг от друга через время τ?

, , τ	а) б) Рис. 10.7
L = ?

Решение.Найдем скорость первого осколка относительно второго: = – (рис. 10.7,б). При этом согласно формуле (10.1) тогда

,

т.е. не зависит от времени.

Это значит, что первый осколок относительно второго движется равномерно и прямолинейно со скоростью – ! Тогда расстояние между осколками через время τ будет равно s = | – |t.

Ответ: s = | – |t.

СТОП! Решите самостоятельно: А2, А3, В13, С13.

Задача 10.6. Из точки А, находящейся над поверхностью земли на высоте h = 5 м (точно), свободно падает тело. Одновременно из точки В, находящейся на расстоянии l = м (точно) по горизонтали от точки А, под углом a к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе. Определить угол a.

h = 5 м l = м	Решение. Читатель. Ну, здесь ход решения более-менее ясен. Нужно записать уравнения движения: x = x(t) и у = у(t) для каждого тела, приравнять координаты тел в мо­мент встречи: х1(tв) = x2(tв), у1(tв) = у2(tв), решить полученную систему уравнений...
a = ?

Автор: (перебивая). А давайте по-другому! Примем ПЕРВОЕ тело за неподвижное и най­дем скорость ВТОРОГО тела относительно ПЕРВОГО в момент начала движения: . А так как эта скорость не зависит от времени (см. задачу 10.5), то второе тело относительно первого движется вдоль отрезка ВА (рис. 10.8). Значит, для того чтобы ВТОРОЕ тело столкнулось в воздухе с ПЕРВЫМ телом, необходимо, чтобы вектор совпадал с прямой ВА. Тогда из треугольника ABC имеем:

.

Читатель: Здорово, конечно, но как-то дико: с одной стороны, траектория второго тела ПАРАБОЛА, а с другой стороны – ПРЯМАЯ. Но не может же тело одновременно двигаться и по параболе, и по прямой!

Автор: В том-то и дело, что может! Представьте себе, что у нас имеется большой вертикально расположенный лист бумаги, на котором ВТОРОЕ тело, двигаясь по направлению к ПЕРВОМУ телу, чертит свою траекторию. Если лист неподвижен относительно земли, то будет начерчена парабола, но если лист будет свободно падать, оставаясь при этом неподвижным отно­сительно ПЕРВОГО тела, то на этом падающем листе ВТОРОЕ тело начертит ПРЯМУЮ! Удивительно, но факт. Не верите – проверьте эксперимента­льно!

СТОП! Решите самостоятельно: В15, В16, С11, С12.

Задача 10.7. Футбольному мячу придали начальную скорость υ₀ = 20 м/с, направленную под углом a = 15° к горизонту. На расстоянии L = 15 м от точки вылета мяча с поверхности земли находится стенка, о которую мяч ударяется абсолютно упруго: угол отскока равен углу падения, а скорость до удара равна скорости после удара (рис. 10.9). Каково расстояние s_x от точки удара до точки его приземления?

υ0 = 20 м/с a = 15° L = 15 м	Решение. Если бы стенки не было, то дальность полета была бы равна 20 м >L = 15 м.
sx = ?

Значит, мяч ударится о стенку. В момент удара вертикальная проекция скорости сохранится, а горизонтальная поменяет знак (рис. 10.10): , .

Введем с.о. х¢0у, в которой ось 0х¢ противоположна оси 0х. В этой новой системе υ_х сохраняет и свою величину, и свой знак. Следовательно, скорость в этой с.о. точно такая же, как в старой с.о., т.е. мяч в новой с.о. движется так же, как если бы на его пути не было стенки. А это значит, что траектория мяча после удара будет симметрична относительно оси у траектории мяча, который пролетел бы «сквозь» стенку.

Тогда, как видно из рис. 10.9, Ds = L₀ – L,

s_x = L₀ – 2Ds = L₀ – 2(L₀ – L) = 2L – L₀ = 2×15 м – 20 м = 10 м.

Ответ: s_x =2L – L₀ = 10 м.

СТОП! Решите самостоятельно: В17, В18, С16, С17.