Векторный закон сложения скоростей

Всякое движение, а также покой (как частный случай движения) относительны. Абсолютного движения не существует. Оно всегда происходит только по отношению к телу, которое мы условно считаем неподвижным. Данные о положении и скорости тела будут иметь смысл только тогда, когда мы укажем систему отсчета.

Выясним, как связаны между собой движения точки в различных системах отсчета х0у и х¢0у¢ (для краткости: K-система и K¢-система, на рис. 9.4). При этом K¢-система движется поступательно по отношению к неподвижной K-системе.

Пусть в K-системе начало координат K¢-системы характеризуется радиусом-вектором , а ее скорость . Если положение точки А в K-системе, определяемой радиусом-вектором , а в K¢-системе – радиусом-вектором , то, как видно из рис. 9.4, = + . Далее, пусть за промежуток времени Dt точка А совершит в K-системе элементарное перемещение . Это перемещение складывается из перемещения вместе с K¢-системой и перемещением относительно K¢-системы, т.е. = + .

Разделим данное выражение на Dt и получим формулу преобразования скорости:

= + . (9.5)

Таким образом, скорость точки в неподвижной системе отсчета равна сумме скоростей подвижной системы отсчета и скорости точки относительно подвижной системы, если последняя движется поступательно.

Заметим, что скорость тела в неподвижной системе отсчета (с.о.) условились называть абсолютной, скорость тела в движущейся с.о. – относительной, а скорость подвижной с.о. относительно неподвижной с.о. – переносной.

Простой пример: пассажир идет вдоль вагона поезда со скоростью , сам поезд движется поступательно относительно земли со скоростью . Тогда очевидно, что скорость пассажира относительно земли определится формулой (9.5).

Теперь рассмотрим случай, когда в некоторой с.о. два тела движутся независимо друг от друга. Как определяется их движение относительно друг друга?

Пусть из некоторой точки А на берегу отплывают две лодки, одна из которых удаляется от А на расстояние , а другая – на расстояние (рис. 9.5).

Очевидно, что относительное их перемещение определяется взаимным расстоянием , значит, относительное перемещение равно разности и . При этом перемещение первой лодки относительно второй = – , а перемещение второй лодки относительно первой равно = – . Отсюда = – . Деля перемещения на время, за которое они произошли, получаем

,

или

, . (9.6)

Таким образом, относительные перемещение и скорость двух тел определяются векторной разностью их перемещений и скоростей, заданных по отношению к одной и той же с.о.

Рассмотрим задачи на применение векторного закона сложения скоростей.

Переправа

Задача 9.1. Человеку на лодке необходимо переправиться через реку так, чтобы попасть из пункта А в пункт В (рис. 9.6,а). Скорость течения реки и, АС = L, СВ = а.

1. Какую минимальную скорость относительно воды может при этом иметь лодка? Как должна быть направлена эта скорость?

2. Какой будет скорость относительно берега?

3. За какое время лодка попадет из А в В?

АС = L СВ = а и	а) б) Рис. 9.6
= ? = ? tп = ?

Решение. Скорость лодки относительно берега должна совпадать с линией АВ (рис. 9.6,б). При этом при любом из показанных на рисунке направлений скорости лодки относительно воды это условие будет выполнено. Но минимальным значение будет только в том случае, если ^ АВ. Тогда из треугольника ADE легко найти :

.

Из треугольника AВС найдем, что

, .

Тогда

.

Абсолютную скорость найдем из треугольника ADE:

.

Время переправы

.

Ответ: ; ; .

СТОП! Решите самостоятельно: С1, С2.

Дождь

Задача 9.2. Заднее стекло автомобиля составляет с горизонтом угол a = 60°. Идет вертикальный дождь, скорость капель которого равна υ₁ = 10 м/с. При какой скорости автомобиля капли не будут попадать на заднее стекло?

a = 60° υ1 = 10 м/с	а) б) Рис. 9.7
υ2 = ?

Решение. Капли не будут попадать на заднее стекло, если их скорость относительно автомобиля направлена так, как показано на рис. 9.7,а.

Согласно формуле (9.6) скорость капель относительно автомобиля = – (рис. 9.7,б). Тогда из треугольника скоростей АВС легко найти минимальную скорость автомобиля, при которой капли не будут попадать на заднее стекло:

= м/с.

Ясно, что при υ₂ > 5,8 м/с капли также не будут попадать на заднее стекло.

Ответ: υ₂ ³ 5,8 м/с.

СТОП! Решите самостоятельно: В7–В8, С3.