Относительная скорость движения

Задача 9.3.Два корабля движутся со скоростями и , как показано на рис. 9.8. Угол a и расстояние l заданы. Какова скорость второго корабля относительно первого? Каково наименьшее расстояние между кораблями? Через какое время корабли будут на этом расстоянии?

, , a, l	Рис. 9.8
= ? smin = ? t = ?

Решение. 1. Скорость второго корабля относительно первого равна = – (рис. 9.9). Найдем проекции вектора на оси х и у:

;

;

Угол b, который вектор составляет с осью х, легко найти из DАОВ:

, .

2. Второй корабль будет двигаться относительно первого по прямой, направленной вдоль вектора . Наименьшее расстояние s_min можно найти из DАОВ (рис. 9.10):

s_min = lsinb.

3. Время, через которое корабли будут на минимальном расстоянии

.

Ответ: ;

; .

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В2, В13, С7.

Флаг на корабле

Задача 9.4. Корабль движется на восток со скоростью υ₁ = 10 м/с. При этом дует северо-западный ветер со скоростью υ₂ = 5,0 м/с. Какова скорость ветра (по модулю) относительно корабля? Какой угол составляет флаг на мачте корабля с направлением движения корабля?

υ1 = 10 м/с υ2 = 5,0 м/с	Решение. Плоскость флага всегда параллельна скорости ветра относительно корабля. Перейдем в с.о. «корабль». В этой с.о. скорость ветра будет равна = – (рис. 9.11). Проекции скорости на оси х и у равны:
υ = ? a = ?
Рис. 9.11	; ; м/с.

Угол b найдем из DАВО:

0,26.

Откуда b = arctg 0,26 » 15°, а искомый угол a = 180° – b » 165°.

Ответ: υ » 14 м/с; a » 165°.

СТОП! Решите самостоятельно: В9, В10, С4.

Поток частиц

Пусть некоторые частицы (нейтроны, мухи, капли дождя и пр.) движутся с одинаковой скоростью в одном направлении и пусть концентрация частиц (т.е. их число в единице объема) равна п ([n] = 1/cм³). Определим число частиц, которое пересечет за время Dt площадку площадью S, такую, что нормаль (вектор единичной длины, перпендикулярный к площадке) составляет угол a с вектором скорости частиц.

1. Пусть a = 0, т.е. (рис. 9.12). В площадку попадут только те частицы, которые находятся от площадки не дальше, чем υDt (остальные не успеют долететь). Объем, в котором содержатся частицы, которые пересекут площадку, – это объем прямоугольного параллелепипеда с основанием S и высотой υDt: V = sυDt. А число частиц в этом объеме

N = nV = nsυDt . (9.7)

Потоком частиц Ф называется величина, численно равная числу частиц, пересекающих площадку единичной площади, расположенную так, что ее плоскость перпендикулярна направлению скорости частиц, в единицу времени.

Тогда согласно (9.7) , . Запомним:

Ф = nυ. (9.8)

Пусть нормаль составляет с вектором угол a и пусть а и b – длины сторон прямоугольной площадки. Ясно, что S = ab.

В площадку попадут только частицы, пересекающие проекцию площадки на горизонтальную плоскость (рис. 9.13). Площадь этой проекции S¢ = abcosa.

В этом случае объем, в котором будут находиться частицы, пересекающие площадку за время Dt, будет равен

V¢ = abcosa×υDt = Scosa×υDt,

а число частиц

N¢ = V¢n = ScosaυDtn = пυSDtcosa

или

N¢ = ФSDtcosa. (9.9)

Заметим, что если a = 90°, то N¢ = 0, так как частицы будут лететь параллельно площадке.

Задача 9.5. Сколько капель воды попадет в неподвижное ведро с площадью сечения S = 400 см² за время Dt = 1,0 с, если скорость капель υ = 10 м/с, а их концентрация п = 1,0 (1/см³). Капли движутся перпендикулярно к плоскости сечения ведра.

СТОП! Решите самостоятельно: В8, В19, С11.