Движение точечного заряда

Во внешнем поле

Потенциальная энергия заряда

В однородном поле

Читатель: Что такое потенциальная энергия заряда в силовом поле?

Автор: Эта работа поля по перемещению заряда из данной точки в точку, которой мы припишем нулевое значение потенциальной энергии (как в случае однородного гравитационного поля).

Пусть в постоянном поле, образованном бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда s > 0, в некоторой точке С находится заряд q > 0 (рис. 16.1). Найдем его потенциальную энергию.

Можно, например, положить П = 0 на самой плоскости. Тогда работа поля по перемещению заряда из точки C в точку 0 будет равна

< 0.

То есть потенциальная энергия заряда отрицательная!

Задача 16.1. Частица массой т и зарядом q > 0 движется вдоль силовых линий однородного электростатического поля напряженностью Е. Начальная скорость частицы υ₀, (рис. 16.2). Найти: 1) ускорение частицы; 2) скорость частицы через время t; скорость частицы на расстоянии s₀ от исходной точки.

q m E s0 υ0 t	Решение. 1. , . 2. υ(t) = υ0 + at, υ(t) = υ0 + . 3. υ(s0) найдем тремя способами. Способ 1 – кинематический. Воспользуемся формулой и получим: ,
а = ? υ(t) = ? υ(s0) = ?
Рис. 16.2	, .

Способ 2.Воспользуемся теоремой о кинетической энергии: DК = А (работа всех сил). Тогда

.

Способ 3. Воспользуемся законом сохранения энергии: П + К = = const, где П – энергия частицы во внешнем поле. Предположим, что в начальной точке потенциал равен нулю: j(0) = 0 (рис. 16.3). Найдем j(s):

А_поля = q[убыль потенциала],

qEs₀ = q[j(0) – j(s)],

j(s) = –Es₀.

Применим формулу (15.1):

qj₁ + К₁ = qj₂ + К₂,

q×0 + = q(–Es₀) + ,

,

.

Ответ: ; υ(t) = υ₀ + ; .

СТОП! Решите самостоятельно: А2, В3, С2.

Задача 16.2. Частица массой т и зарядом q влетает в электростатическое поле напряженностью Е в направлении, противоположном направлению вектора , с начальной скоростью υ₀ . Через какое время t₀ частица остановится? Какую работу А_п совершит поле с момента начала движения до остановки частицы? На каком расстоянии s₀ от исходной точки частица остановится?

т q E υ0	Решение. Введем ось х ­­υ0 (рис. 16.4). Рис. 16.4 1. Найдем t0. Ускорение . Исходя из рис. 16.4 получаем . Скорость .
t0= ? Аполя= ? s0 = ?

В момент остановки скорость равна нулю: , тогда

= 0, .

2. Найдем А_поля. Воспользуемся теоремой о кинетической энергии: DК = А_поля. Тогда

0 – = А_поля или А_поля­ = – .

3. Найдем s₀. Опять воспользуемся теоремой о кинетической энергии: DК = А_поля.

А_поля = Fs₀cos180° = –qEs₀,

0 – = –qEs₀, .

Ответ: ; А_п­оля = – ; .

СТОП! Решите самостоятельно: А1, В1, В4.

Задача 16.3. Частица массы т и зарядом q > 0 влетает с горизонтальной скоростью υ₀ в однородное электростатическое поле напряженностью Е, как показано на рис. 16.5. Считая, что начальные координаты частицы в системе х, у равны (0, 0), найти υ_х(t), υ_у(t), υ(t), х(t), у(t).

т q υ0 Е	Рис. 16.5 Решение. Задача полностью аналогична задаче о теле, брошенном горизонтально вблизи поверхности Земли[1]. Поэтому приведем лишь краткие выкладки:
υх(t) = ? υу(t) = ? υ(t) = ? х(t) = ? у(t) = ?

; ; , а_х = 0;

υ_0у = 0, υ_0х = υ₀;

υ_х(t) = υ_0х + а_хt = υ₀ + 0×t = υ₀ = const;

υ_у(t) = υ_0у + а_уt = ;

;

;

.

Ответ: υ_х(t) = υ₀; υ_у(t) = ; ;

; .

СТОП! Решите самостоятельно: С4–С6.

Задача 16.4. Частица массы т и зарядом q влетает в электростатическое поле напряженностью Е, как показано на рис. 16.6. Вектор начальной скорости составляет угол a с осью х, . Найти а_х, а_у, υ_х(t), υ_у(t), х(t), у(t), максимальную координату у_max, координату х_в точки вылета частицы из поля.

т q Е υ0 a	Рис. 16.6 Решение. Задача полностью аналогична задаче о теле, брошенном под углом к горизонту[2], только вместо силы здесь участвует сила . Поэтому приведем лишь краткие выкладки решения:
ах, ау = ? υх(t), υу(t) = ? х(t), у(t) = ? уmax = ? хв = ?

, а_х = 0, ;

υ_0х = υ₀cosa, υ_х(t)= υ₀cosa = const;

υ_0у= υ₀sina, υ_y(t)= υ₀sina ;

;

.

Найдем у_max с помощью теоремы о кинетической энергии:

DК = А_поля;

DК = К(у_max) – К₀ = ,

А_поля = –qEy_max;

= –qEy_max;

qEy_max = (1 – cos²a), y_max = .

Чтобы найти х_в (т.е. координату х в момент времени t_в), сначала определим момент вылета t_в:

y(t_в) = 0,

Þ .

Отсюда

х_в = х(t_в) = = =

.

Ответ: а_х = 0; ; υ_х(t)= υ₀cosa; υ_y(t)= ; ; ; y_max = ; х_в = .

СТОП! Решите самостоятельно: С7, С8.

Задача 16.5. Маленький шарик зарядом q > 0 и массы т подвешен на нити длиной l в однородном вертикальном электростатическом поле Е, направленном вертикально вниз. В начальный момент шарик отклонен на угол a от вертикали (рис. 16.7). Найти: а) скорость шарика при его перемещении в положение равновесия; б) работу поля при перемещении шарика в положение равновесия; в) силу натяжения нити при прохождении положения равновесия. Силой тяжести пренебречь.

Е m l q > 0 a	Решение. Как видно из рисунка, в вертикальном направлении шарик сместится на Dу = =l(1 – cosa). Поскольку работа однородного поля не зависит от траектории, то Аполя = qEDу = qEl(1 – cosa).	Рис. 16.7
υ = ? Аполя = ? Т = ?

Согласно теореме о кинетической энергии

DК = А_поля Þ – 0 = qEl(1 – cosa),

.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление нормали : . Отсюда

.

Ответ: А_поля = qEl(1 – cosa); ;

Т =

СТОП! Решите самостоятельно: С9, С10.

Задача 16.6. К неподвижному заряженному шару радиуса R и зарядом Q > 0 из бесконечности движется положительно заряженная частица массой т и зарядом q > 0 с начальной скоростью υ₀, направленной к центру шара (рис. 16.8). Определить: а) скорость частицы на расстоянии r₁ от центра шара; б) минимальное расстояние r_min, которое сможет пролететь частица до центра шара; в) минимальную скорость υ_0min, которой должен обладать заряд q на бесконечности, чтобы долететь до поверхности шара.

т R Q q υ0 r1	Рис. 16.8 Решение. а) Воспользуемся законом сохранения энергии qj + К = const: ,
υ1 = ? rmin = ? υ0min = ?

Þ .

б) Применим этот же закон для случая остановки частицы на расстоянии r_min от центра шара:

Þ Þ 2kqQ = r_min Þ

r_min = 2 .

в) Применим этот же закон для случая остановки частицы на расстоянии R от центра шара:

Þ Þ

.

Ответ: ; r_min = 2 ; .

СТОП! Решите самостоятельно: А3, В5, В7, С12.

Задача 16.7. До какого максимального заряда можно зарядить металлический шар радиуса R = 0,10 м, если облучать его электронами, имеющими на бесконечности скорость υ₀ = 1,0×10⁶ м/с (рис. 16.9)? Масса электрона т_е = 9,1×10^–31 кг, заряд е = 1,6×10^–19 Кл.

R = 0,10 м υ0 = 1,0×106 м/с те = 9,1×10–31 кг е = 1,6×10–19 Кл	Рис. 16.9 Решение. Зарядка шара кончится тогда, когда
Q = ?

электрон подлетит к шару с нулевой скоростью. Воспользуемся законом сохранения энергии: еj + К = const, тогда

;

(мы учли, что е < 0 и заряд шара Q < 0).

Þ =

3,2×10^–11 Кл.

Ответ: = 3,2×10^–11 Кл.

СТОП! Решите самостоятельно: В8, С17, С18.

Задача 16.8. Из бесконечности по направлению к двум концентрическим сферам радиусами R и 2R и одинаковыми зарядами Q с нулевой начальной скоростью движется электрон массой т и зарядом е. Пролетев через маленькое отверстие в сферах, электрон попадает в их общий центр (рис. 16.10). Найти скорость электрона в центре сфер.

R, 2R Q e, т	Решение. В центре сфер потенциал равен .
υ0 = ?

Воспользуемся законом сохранения энергии: еj + К = const, тогда

,

υ₀ = .

Ответ: υ₀ = .

СТОП! Решите самостоятельно: В6, С13, С20.