Задачи очень трудные. D1. Бесконечный заряженный цилиндр радиуса r имеет объемную плотность заряда r и окружен соосной с ним заземленной цилиндрической металлической поверхностью

D1. Бесконечный заряженный цилиндр радиуса r имеет объемную плотность заряда r и окружен соосной с ним заземленной цилиндрической металлической поверхностью радиуса R. Найдите зависимость потенциала поля этой системы от расстояния до оси цилиндра.

D2. Вдоль оси длинного цилиндрического канала, вырезанного в проводнике, пролетает тонкий стержень, линейная плотность заряда которого r (рис. 14.14). Длина стержня l много больше радиусов R₁и R₂. Вдали от области сужения канала справа скорость стержня υ₀. Найдите скорость стержня вдали от области сужения канала слева. Масса стержня т.

D3.Внутренний радиус металлической сферической оболочки равен а, ее внешний радиус равен b, а центр находится в начале координат. В оболочке просверлено небольшое отверстие. Полный заряд оболочки равен нулю. Какую работу нужно затратить, чтобы заряд q₁перевести из бесконечности через отверстие в начало координат? Чему равна эта работа, если полный заряд оболочки равен q₂?

D4. Разрезанный заряженный шар. Заряженный металлический шар радиуса R разрезан на две части плоскостью, проходящей на расстоянии h от центра шара (рис. 14.15). С какой силой отталкиваются друг от друга эти части? Полный заряд шара равен Q.

Рис. 14.15

Закон сохранения энергии

Для электростатики

Потенциальной энергией точечного заряда в данной точке электростатического поля называется величина, равная работе сил поля по перемещению точечного заряда из данной точки в точку, значение потенциальной энергии в которой принято равным нулю.

Заметим, что, например, для поля, созданного равномерно заряженной сферой или точечным зарядом, потенциальная энергия берется равной 0 на бесконечности, а для поля, созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью – на некоторой произвольной плоскости, параллельной плоскости, создающей поле (или на ней самой).

Если в некоторой точке электростатического поля значение потенциала равно j, то значение потенциальной энергии точечного заряда q, находящегося в этой точке, равно

П = qj.

Если при перемещении точечного заряда из некоторой точки 1 в точку 2 в электростатическом поле никакие другие силы, кроме сил поля, на заряд не действуют, то полная механическая энергия заряда в этом поле, определяемая как сумма его кинетической и потенциальной энергии, сохраняется:

П₁ + К₁ = П₂ + К₂ = const.

Учитывая, что П = qj, а К = тυ²/2 (где q – заряд, а т – масса точечного заряда),можно эту формулу записать в виде

= . (15.1)

Теорема о кинетической энергии.Изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей силы: DК = А.

Доказательство. Пусть тело массой т под действием силы на расстоянии S изменило свою скорость с υ₁ до υ₂ (ограничимся случаем, когда сонаправлена с перемещением тела). Тогда

что и требовалось доказать.

Докажем формулу (15.1). Пусть заряд q под действием сил только электростатического поля переместится из точки 1 с потенциалом j₁ в точку 2 с потенциалом j₂, изменив свою скорость с υ₁ до υ₂. По теореме о кинетической энергии

DК = А_поляÞ DК = К₂ – К₁ = .

С другой стороны, А_поля = q(j₁ – j₂), тогда

= q(j₁ – j₂), (15.2)

Формула (15.1) доказана.

Заметим, что заряд q в формулах (15.1) и (15.2) берется с учетом знака.

Если j₁ > j₂, то проекция вектора на ось, направляемую от точки 1 к точке 2, положительна (поле направлено в сторону убывания потенциала) (рис. 15.1). Поэтому если j₁ > j₂, то у положительного заряда υ₂ > υ₁, т.е. положительный заряд ускоряется в направлении убывания потенциала. У отрицательного заряда υ₂ < υ₁, т.е. при движении в направлении убывания потенциала поле тормозит отрицательный заряд.

Задача 15.1. Точечный заряд переместился в электростатическом поле из точки 1 с потенциалом j₁ = 200 В в точку 2 с потенциалом j₂ = 100 В. Определить изменение кинетической энергии заряда в случае, если: 1) q₁ = 1×10^–6 Кл; 2) q₁ = –1×10^–6 Кл.

j₁ = 200 В j₂ = 100 В q₁ = 1×10^–6 Кл q₂ = –1×10^–6 Кл	Решение. Изменение кинетической энергии равно работе поля: DК = q(j₁ – j₂), тогда DК₁ = q₁(j₁ – j₂) = 1×10^–6 Кл×(200 В – 100 В) = = 1×10⁴ Дж > 0; DК₂ = q₂(j₁ – j₂) = –1×10^–6 Кл×(200 В – 100 В) = = –1×10⁴ Дж < 0.
DК₁,DК₂ = ?

Вывод: В первом случае DК₁ > 0 (положительный заряд ускорился, двигаясь от большего потенциала к меньшему); во втором случае DК₂ < 0 (отрицательный заряд замедлился, двигаясь от большего потенциала к меньшему).

СТОП! Решите самостоятельно: А1, А2.

Задача 15.2. Заряженная частица движется в электростатическом поле из точки 1 с потенциалом j₁ = 200 В (точно) в некоторую точку 2 . Скорость частицы в точке 1 υ₁ = 1,0×10⁵ м/с, а в точке 2 υ₂ = 2,0×10⁵ м/с. Определить потенциал в точке 2, если частица с зарядом е = 1,6×10^–19 Кл: а) протон (т_р = 1,67×10^–27 кг); б) электрон (т_е = 9,1×10^–³¹ кг).

j₁ = 200 В υ₁ = 1,0×10⁵ м/с υ₂ = 2,0×10⁵ м/с е = 1,6×10^–19 Кл т_р = 1,67×10^–27кг т_е = 9,1×10^–31 кг	Решение. Воспользуемся формулой (15.1): = , , .
j₂ = ?

1. Если частица – протон: т = т_р, q = +e, тогда

= [(1,0×10⁵ м/с)² – (2,0×10⁵ м/с)² ]» 43 В.

Заметим, что протон, разогнавшись, оказался в точке 2 с меньшим потенциалом: 43 В < 200 В.

2. Если частица – электрон: т = т_е, q = –e, тогда

= [(2,0×10⁵ м/с)² – (1,0×10⁵ м/с)²] » 200,085 В.

Электрон ускоряется в направлении увеличения потенциала.

Заметим также, что Dj = j₂ – j₁ = 200,085 – 200 = 0,085 В (всего!), а разогнался электрон весьма прилично: от 100 км/с до 200 км/с, но для сверхлегкого электрона эта скорость – пустяк!

Ответ: а) » 43 В;

б) =200,17 В.

СТОП! Решите самостоятельно: А3, А5, В1, В2.

Задача 15.3. Заряженная частица движется в электростатическом поле из точки 1 с потенциалом j₁ = 100 В в точку 2 с потенциалом j₂ = 200 В. Скорость частицы в точке 1 υ₁ = 2,0×10⁵ м/с. Найти скорость частицы в точке 2, если частица с зарядом е = =1,6×10^–19 Кл: а) протон (т_р = 1,67×10^–27 кг); б) электрон (т_е = = 9,1×10^–³¹ кг).

j₁ = 100 В j₂ = 200 В υ₁ = 2,0×10⁵ м/с е = 1,6×10^–19 Кл т_р = 1,67×10^–27кг т_е = 9,1×10^–31 кг	Решение. Воспользуемся формулой (15.1): = , , .
υ₂ = ?