Индивидуальное задание. 1. Установите, какие из предложений являются логическими высказываниями, а какие – нет (объясните почему)

1. Установите, какие из предложений являются логическими высказываниями, а какие – нет (объясните почему), сформулируйте отрицания:

1.1 «Солнце есть спутник Земли»;

1.2 «2+3=4»;

1.3 «Сегодня отличная погода»;

1.4 «В романе Л. Н. Толстого “Война и мир” 3 432 536 слов»;

1.5 «Санкт-Петербург расположен на Неве»;

1.6 «Музыка Баха слишком сложна»;

1.7 «Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек»;

1.8 «Железо – металл»;

1.9«Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным»;

1.10 «Иван Петров плотник»;

1.11«Студент учатся в институте»;

1.12«Треугольник – плоская геометрическая фигура, состоящая из трех углов и трех сторон»;

1.13«Каждый квадрат есть ромб»;

1.14«Курица не птица»;

1.15«Математика – это наука».

2.Запишите предложение формулой логики высказываний, постройте к нему отрицание:

2.1 Неверно, что Иванов и Петров оба не выдержали экзамена.

2.2 Если Коля умен, а Вася нет, то Коля получит аттестат с отличием.

2.3 Если в классе идут занятия, то на улице хорошая погода.

2.4 Валя ходит в кино только в том случае, когда там показывают комедию.

2.5 Треугольники подобны, если они равны.

2.6 Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, в противном случае четырехугольник не параллелограмм, а трапеция.

2.7Неверно, что у ромба все углы острые и диагонали не перпендикулярны.

2.8 Или Катя пойдет в кино, а Сергей не пойдет, или они оба пойдут в школу.

2.9 Если курс ценных бумаг растет или процентная ставка снижается, то либо падает курс акций, либо налоги не повышаются.

2.10 Либо четырехугольник - квадрат, либо прямоугольник, если все углы у него прямые.

2.11«Сумма цифр числа 216 делится на 3, значит само число 216 делится на 3, так как существует соответствующее правило»;

2.12«Треугольник, в котором все стороны равны, равносторонний, если две стороны равны - равнобедренный»;

2.13«Я понимаю, что не понимаю математическую логику, поэтому мне необходимо дополнительно заниматься дома»;

2.14«Если Иван Иванович Иванов не будет ходить на работу, то он или не получит зарплату, или будет уволен»;

2.15«Максим учится в школе, и делает уроки старательно, это значит, что он отличник».

Таблицы истинности

Истинность высказывания можно установить с помощью таблицы истинности. Таблица истинности – это таблица, состоящая из нулей и единиц и устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.

Таблицы истинности применяются для:

· вычисления истинности сложных высказываний;

· установления эквивалентности высказываний;

· определения тавтологий.

1. Таблица истинности инверсии:

A

2. Таблица истинности дизъюнкции:

A	B	А В

3. Таблица истинности конъюнкции:

A	B	А ∙ В

4. Таблица истинности импликации:

А	В	А→ В

5. Таблица истинности эквиваленции:

А	В	А↔ В

6. Таблица истинности строгой дизъюнкции:

А	В	А+В

Высказывание «Eсли я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог» формализуется в виде Такая же формула соответствует высказыванию «Если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика».

Формула при определенных сочетаниях значений переменных A, B и C принимает значение «истина», а при некоторых других сочетаниях – значение «ложь». Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение «истина» при любых значениях истинности входящих в них переменных и называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.

Высказывание «Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати» формализуется в виде: . Очевидно, что эта формула ложна, так как либо , либо обязательно ложно.

Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями.

Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом «=» или « ». Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.

Пример 1.Установить истинность высказывания .

Решение:

В состав сложного высказывания входят простые: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться от элементарных формул к более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.

Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.

Пример 2. Проверить эквивалентность высказываний и .

Решение:

Проверка ведется путем составления таблицы истинности:

Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки, убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле , совпадают со значениями, получаемыми по формуле , т. е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.

Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком «↔» («≡», «~», « »). Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией. Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое. Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.

Пример 3. Докажите тавтологию .

Решение:

Так как высказывание всегда истинно, то оно является тавтологией.

Пример 4. Докажите тавтологию ((X→Y)→(Y→Z))→(X→Z).

Решение:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F3

X	Y	Z	X→Y	Y→Z	X→Z	F1→F2	(F1→F2) →F3

Из таблицы видно, что исследуемое высказывание – тавтология, так как оно тождественно истинно.

Упражнения

1.Установить, какому из высказываний эквивалентно высказывание :

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Установить с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тавтологиями:

а) ; б) ; в) ;

г) .

3. Установить истинность высказывания .

4. Проверить эквивалентность высказываний и .

5. Установить, являются ли высказывания тавтологиями:

а) ; б) .

6. Для каждой формулы придумайте формализуемые ими предложения:

а) ; б) ; в) .

7. Из простых высказываний: «Виктор хороший пловец» – А, «Виктор хорошо ныряет» – В, «Виктор хорошо поет» – С, составлено сложное высказывание . Установить, эквивалентно ли составленное высказывание следующему: «Виктор – хороший пловец и певец».