Определенный интеграл и его основные свойства
Задача: Найти приращения первообразных для данной функции 
на данном интервале 
.
Решение:
;
; 
;
; 
;
; 
.
Ответ: .
Вывод: Приращение любой первообразной 
для функции при изменении аргумента х от 1 до 5 есть величина постоянная, равная 24.
Рассмотрим произвольную функцию 
. Найдём приращения первообразных для функции 
при изменении аргумента от 
до 
.
- данная функция;
- все первообразные для функции ;
- значение любой первообразной для функции при ;
- значение любой первообразной для функции при ;
- приращение любой первообразной для функции ;
;
Определение: Приращение любой первообразной для функции при изменении аргумента х от до называется определённым интегралом в пределах от а до b от функции .
Обозначение: 
а - начальное значение аргумента, нижний предел интегрирования;
b - конечное значение аргумента, верхний предел интегрирования;
- интервал интегрирования.
Замечание: Интеграл в пределах от а до b от функции называется определённым, так как приращение любой первообразной для данной функции (разность значений первообразной при конечном и начальном значениях аргумента) является числом.
Пример:
- Найти приращение любой первообразной для функции
при изменении х от 
до 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
- Найти приращение любой первообразной для функции
при изменении х от 
до 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
- Вычислить определённый интеграл в пределах от 0 до p от функции
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Правило вычисления определённого интеграла от данной функции
- Найти соответствующий неопределённый интеграл;
- В полученное его выражение подставить вместо х сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний.
- Из первого результата вычесть второй.
Замечание:
1) При вычислении определённого интеграла от функции пользуются записью: 
(формула Ньютона-Лейбница).
2) Так как величина постоянной С не влияет на результат, её не пишут.
Пример: Вычислить:
1. 
; 
;
2. 
; 
;
3. 
; 
.
Свойства определённого интеграла
- Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
- Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак определенного интеграла:
. - При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
. - Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
.
- Интервал интегрирования можно разбивать на части:
, 
.
Пример: Вычислить:
1)
2)
Упражнение №1: Вычислить определённые интегралы:
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
|
4)  ;
| 5)  ;
| 6)  ;
|
7)  ;
| 8)  ;
| 9)  ;
|
10)  ;
| 11)  ;
| 12)  .
|
Ответы:
| 1) 168; | 2)  ;
| 3)  ;
| 4)  ;
| 5)  ;
| 6)  ;
|
7)  ;
| 8)  ;
| 9)  ;
| 10)  ;
| 11)  ;
| 12)  .
|
Упражнение №2: Вычислить определённые интегралы:
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
|
4)  ;
| 5)  ;
| 6)  ;
|
7)  ;
| 8)  ;
| 9)  ;
|
10)  ;
| 11)  ;
| 12)  ;
|
13)  ;
| 14)  ;
| 15)  ;
|
16)  ;
| 17)  ;
| 18)  ;
|
19)  ;
| 20)  ;
| 21)  .
|
Ответы:
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
| 4)  ;
| 5)  ;
| 6)  ;
| 7)  ;
|
8)  ;
| 9)  ;
| 10)  ;
| 11)  ;
| 12)  ;
| 13)  ;
| 14)  ;
|
| 15) 2; | 16)  ;
| 17)  ;
| 18)  ;
| 19)  ;
| 20)  ;
| 21) .
|
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1953;