Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла
Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью абсцисс ( 
), двумя прямыми, параллельными оси ординат ( 
, 
), непрерывной и неотрицательной функцией 
при рассматриваемых значениях аргумента.
Задача №1. Является ли фигура криволинейной трапецией?
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.
Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7.
Решение:
- Фигура (Рис.1.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая принимает отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.
- Фигура (Рис.2.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена справа прямой, параллельной оси ординат.
- Фигура (Рис.3.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена осью абсцисс.
- Фигура (Рис.4.) является криволинейной трапецией, так как она ограничена осью абсцисс, двумя прямыми, параллельными оси ординат, непрерывной и неотрицательной функцией при рассматриваемых значениях аргумента.
- Фигура (Рис.5.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая принимает неотрицательные и отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.
- Фигура (Рис.6.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая не является непрерывной при рассматриваемых значениях аргумента.
- Фигура (Рис.7.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена осью абсцисс.
Задача №2. Выразить площади фигур через площади криволинейных трапеций.
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
Рис. 4. Рис. 5.
Решение:
- Площадь фигуры BCE (Рис.1.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABCD u ABECD:
. - Площадь фигуры ABC (Рис.2.) равна сумме площадей криволинейных трапеций ABD u BCD:
. - Площадь фигуры BCDF (Рис.3.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABCDЕ u ABFDE:
. - Площадь фигуры ABCD (Рис.4.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABC u ADC:
. - Площадь фигуры ABC (Рис.5.) равна сумме площадей криволинейных трапеций ABD u BCD:
.
Задача №3. Найти концы интервала, на котором построена фигура, ограниченная функциями:
1) 
; ; 2) 
; 
; 3) 
; 
.
 |
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
Решение:
1) Концами интервала a u b, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссы точек пересечения параболы и оси абсцисс . Решим способом подстановки систему уравнений:
Û 
Û 
;
; 
;
; 
; 
; 
;
Ответ: 
; 
.
2) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения параболы и прямой 
. Решим способом подстановки систему уравнений:
Û 
Û 
; 
; 
;
; ; 
;
Ответ: ; 
.
3) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения парабол и . Решим способом подстановки систему уравнений:
Û 
Û 
; 
; 
;
; 
; 
;
Ответ: 
; 
.
Упражнения:
- Построить фигуру, ограниченную функциями
, 
, 
, 
. Является ли фигура криволинейной трапецией? Найти концы интервала, на котором построена фигура. - Построить фигуру, ограниченную функциями
, , 
, 
. Является ли фигура криволинейной трапецией? Найти концы интервала, на котором построена фигура.
 |
Построим криволинейную трапецию Р0М0МР, ограниченную функцией 
, положительной и возрастающей при рассматриваемых значениях аргумента 
.
От чего зависит площадь криволинейной трапеции Р0М0МР?
1. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от длины отрезка 
, на котором она построена: чем больше длина отрезка , тем больше площадь криволинейной трапеции Р0М0МР .
2. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от вида ограничивающей её функции .
Вывод: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной и неотрицательной функцией на отрезке 
оси абсцисс равна определённому интегралу в пределах от а до b от функции .
Вывод: Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что определённый интеграл в пределах от а до b от непрерывной и неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией 
на отрезке оси абсцисс.
Пример:
-
Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке 
оси абсцисс и ограниченной функцией 
. Сделать чертёж.
Решение:
Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции:
.
Ответ: 
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке
оси абсцисс и ограниченной функцией 
. Сделать чертёж.
Решение:
;
- ветви направлены вниз;
; 
;
; 
;
- вершина параболы;
- ось симметрии параболы;
| х | ||||
| у | - 5 |
Концы интервала, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссами точек пересечения параболы 
и оси абсцисс 
. Решим способом подстановки систему уравнений:
Û 
Û 
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции: .
Ответ: 
Упражнения:
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке
оси абсцисс и ограниченной функцией 
. Сделать чертёж. - Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке
оси абсцисс и ограниченной функцией 
. Сделать чертёж. - Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке
оси абсцисс и ограниченной функцией 
. Сделать чертёж. - Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке
оси абсцисс и ограниченной функцией 
. Сделать чертёж. - Вычислить:
.
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 3362;