Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла
Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью абсцисс ( ), двумя прямыми, параллельными оси ординат ( , ), непрерывной и неотрицательной функцией при рассматриваемых значениях аргумента.
Задача №1. Является ли фигура криволинейной трапецией?
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.
Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7.
Решение:
- Фигура (Рис.1.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая принимает отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.
- Фигура (Рис.2.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена справа прямой, параллельной оси ординат.
- Фигура (Рис.3.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена осью абсцисс.
- Фигура (Рис.4.) является криволинейной трапецией, так как она ограничена осью абсцисс, двумя прямыми, параллельными оси ординат, непрерывной и неотрицательной функцией при рассматриваемых значениях аргумента.
- Фигура (Рис.5.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая принимает неотрицательные и отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.
- Фигура (Рис.6.) не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая не является непрерывной при рассматриваемых значениях аргумента.
- Фигура (Рис.7.) не является криволинейной трапецией, так как она не ограничена осью абсцисс.
Задача №2. Выразить площади фигур через площади криволинейных трапеций.
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
Рис. 4. Рис. 5.
Решение:
- Площадь фигуры BCE (Рис.1.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABCD u ABECD: .
- Площадь фигуры ABC (Рис.2.) равна сумме площадей криволинейных трапеций ABD u BCD: .
- Площадь фигуры BCDF (Рис.3.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABCDЕ u ABFDE: .
- Площадь фигуры ABCD (Рис.4.) равна разности площадей криволинейных трапеций ABC u ADC: .
- Площадь фигуры ABC (Рис.5.) равна сумме площадей криволинейных трапеций ABD u BCD: .
Задача №3. Найти концы интервала, на котором построена фигура, ограниченная функциями:
1) ; ; 2) ; ; 3) ; .
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
Решение:
1) Концами интервала a u b, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссы точек пересечения параболы и оси абсцисс . Решим способом подстановки систему уравнений:
Û Û
;
; ;
; ; ; ;
Ответ: ; .
2) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения параболы и прямой . Решим способом подстановки систему уравнений:
Û Û
; ; ;
; ; ;
Ответ: ; .
3) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения парабол и . Решим способом подстановки систему уравнений:
Û Û
; ; ;
; ; ;
Ответ: ; .
Упражнения:
- Построить фигуру, ограниченную функциями , , , . Является ли фигура криволинейной трапецией? Найти концы интервала, на котором построена фигура.
- Построить фигуру, ограниченную функциями , , , . Является ли фигура криволинейной трапецией? Найти концы интервала, на котором построена фигура.
Построим криволинейную трапецию Р0М0МР, ограниченную функцией , положительной и возрастающей при рассматриваемых значениях аргумента .
От чего зависит площадь криволинейной трапеции Р0М0МР?
1. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от длины отрезка , на котором она построена: чем больше длина отрезка , тем больше площадь криволинейной трапеции Р0М0МР .
2. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от вида ограничивающей её функции .
Вывод: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной и неотрицательной функцией на отрезке оси абсцисс равна определённому интегралу в пределах от а до b от функции .
Вывод: Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что определённый интеграл в пределах от а до b от непрерывной и неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией на отрезке оси абсцисс.
Пример:
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией . Сделать чертёж.
Решение:
Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции:
.
Ответ:
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией . Сделать чертёж.
Решение:
;
- ветви направлены вниз;
; ;
; ;
- вершина параболы;
- ось симметрии параболы;
х | ||||
у | - 5 |
Концы интервала, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссами точек пересечения параболы и оси абсцисс . Решим способом подстановки систему уравнений:
Û Û
; ; ;
; ; ; ;
Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции: .
Ответ:
Упражнения:
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией . Сделать чертёж.
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией . Сделать чертёж.
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией . Сделать чертёж.
- Вычислить площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией . Сделать чертёж.
- Вычислить: .
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 3373;