Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Задача №1: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке 
оси абсцисс и ограниченной функцией 
, принимающей отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента: 
при 
.
Решение:
Площадь данной фигуры равна площади криволинейной трапеции, симметричной данной фигуре относительно оси абсцисс. Криволинейная трапеция ограничена графиком функции, симметричным графику функции 
относительно оси Ох, т. е. графиком функции 
.
Справка: График функции 
получается симметричным отображением графика функции 
относительно оси Ох.
Вывод: Площадь фигуры, ограниченной отрицательной функцией на отрезке оси абсцисс вычисляется по формуле: 
Замечание:Площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной непрерывной функцией , принимающей неотрицательные (отрицательные) значения при рассматриваемых значениях аргумента, вычисляется по формуле: 
.
Пример: Вычислить площадь фигуры, построенной на отрезке 
оси абсцисс и ограниченной функцией 
.
Решение:
Фигура не является криволинейной трапецией, так как при 
. Воспользуемся формулой
;
.
Ответ: 
Задача №2: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией , пересекающей ось абсцисс внутри рассматриваемого отрезка:
1) 
при 
; 
при 
(Рис. 1.);
2) при ; при (Рис. 2.).
 |
Рис. 1. Рис. 2.
Решение:
1) Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая, принимает и отрицательные и неотрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.
;
- площадь фигуры, ограниченной функцией 
на отрезке оси абсцисс: 
.
- площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией на отрезке 
оси абсцисс: 
.
2) Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая, принимает и отрицательные и неотрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента.
;
- площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией 
на отрезке 
оси абсцисс: 
.
- площадь фигуры, ограниченной функцией на отрезке оси абсцисс: 
.
Вывод: Площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией , пересекающей ось абсцисс внутри рассматриваемого отрезка, вычисляется по формуле: 
.
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями: 
, 
, 
, 
.
Решение:
;
- ветви направлены вверх;
; 
;
; 
;
- вершина параболы;
- ось симметрии параболы;
| х | |||||
| у | - 4 | - 3 |
Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция принимает отрицательные значения при 
и неотрицательные значения при 
. .
- площадь фигуры, ограниченной функцией на отрезке 
оси абсцисс, вычисляется по формуле ;
- площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией на отрезке 
оси абсцисс, вычисляется по формуле ;
Ответ: 
Задача №3: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функциями: 
при 
и 
при , 
.
Решение:
Фигура не является криволинейной трапецией, так как ограничена двумя функциями. Прямой, проходящей через точку пересечения функций и и параллельной оси ординат, фигура разбивается на части и 
, являющиеся криволинейными трапециями.
.
Задача №4: Определить площадь фигуры, ограниченной функциями и , удовлетворяющими условию 
при рассматриваемых значениях аргумента .
Решение:
 |
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1405;