Метод подстановки (замены переменной)

Если ни одно из известных преобразований не приводит данный интеграл к такому виду, чтобы можно было применить какую-нибудь формулу интегрирования, приходится прибегать к искусственным приёмам.

Один из широко распространённых приёмов интегрирования – способ подстановки.

Замечание: Способ подстановки применяется в том случае, если под знаком интеграла стоит сложная функция. Промежуточная функция заменяется новой переменой с таким расчётом, чтобы получившийся интеграл был табличным.

Пример: Вычислить неопределённые интегралы:

1. .

Решение:

1) К какому табличному интегралу можно привести данный интеграл (на какой табличный интеграл похож данный интеграл)? ;

2) Какую часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной?

тригонометрическая, линейная функция; ; ;

3) Вычислим дифференциал новой переменной, чтобы выразить через него оставшийся без замены дифференциал аргумента х: ; ;

4) Выполним замены под знаком интеграла: ;

5) Вынесем за знак интеграла постоянный множитель: ;

6) Вычислим полученный табличный интеграл: ;

7) Выполним обратную замену: .

Ответ: .

1. ;

Решение:

1) ;

2) ;

3) ; ;

.

Ответ: .

Правило:

1) Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл;

2) Определить, какую часть подынтегральной функции необходимо заменить новой переменной, записать эту замену;

3) Вычислить дифференциал новой переменной и выразить через него оставшуюся без замены часть подынтегрального выражения;

4) Выполнить замены под знаком интеграла;

5) Вынести за знак интеграла постоянный множитель;

6) Вычислить полученный табличный интеграл;

7) Выполнить обратную замену.

Упражнения: Вычислить неопределённые интегралы:

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11. ;	12. ;
13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;
19. ;	20. ;	21. ;
22. ;	23. ;	24. ;

3. Решение физических задач с помощью неопределённого интеграла

Известно, что скорость прямолинейного движения точки равна производной от пути по времени : .

; ; ; .

Вывод: Чтобы найти закон движения точки, надо проинтегрировать скорость прямолинейного движения точки: .

Пример: Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону . Найти закон движения , если за время точка прошла 20 м.

; ; ; ;