Параметры к задачам по формуле Байеса

21 Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обычно эти два исхода называются “успехом” (У) или “неудачей” (Н) и соответствующие вероятности обозначают p и q. Ясно, что p³ 0, q³ 0 и p+q=1.

Пространство элементарных событий каждого испытания состоит из двух событий У и Н.

Пространство элементарных событий n испытаний Бернулли Ω содержит 2ⁿ элементарных событий, представляющих собой последовательности (цепочки) из n символов У и Н. Каждое элементарное событие является одним из возможных исходов последовательности n испытаний Бернулли. Поскольку испытания независимы, то, по теореме умножения, вероятности перемножаются, то есть вероятность любой конкретной последовательности - есть произведение, полученное при замене символов У и Н на p и q соответственно, то есть, например: Р(w )={У У Н У Н ... Н У }=p p q p q ... q q p .

Отметим, исход испытания Бернулли часто обозначают 1 и 0, и тогда элементарное событие в последовательности n испытаний Бернулли - есть цепочка, состоящая из нолей и единиц. Например: w =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Испытания Бернулли представляют собой важнейшую схему, рассматриваемую в теории вероятностей. Эта схема названа в честь швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705), в своих работах глубоко исследовавших эту модель.

Основная задача, которая нас будет здесь интересовать: какова вероятность того события, что в n испытаниях Бернулли произошло m успехов?

При выполнении указанных условий вероятность того, что при проведении независимых испытаний событие будет наблюдаться ровно m раз (неважно, в каких именно опытах), определяется по формуле Бернулли:

(21.1)

где — вероятность появления в каждом испытании, а — вероятность того, что в данном опыте событие не произошло.

Если рассматривать Pn(m) как функцию m, то она задает распределение вероятностей, которое называется биномиальным. Исследуем эту зависимость Pn(m) от m, 0£m£n.

События B_m (m = 0, 1, ..., n), состоящие в различном числе появлений события А в n испытаниях, несовместны и образуют полную группу. Следовательно, .

Рассмотрим соотношение:

= =
= .

Отсюда следует, что Pn(m+1)>Pn(m), если (n-m)p>(m+1)q, т.е. функция Pn(m) возрастает, если m<np-q. Аналогично, Pn(m+1)<Pn(m), если (n-m)p<(m+1)q, т.е. Pn(m) убывает, если m>np-q.

Таким образом, существует число m0,при котором Pn(m) достигает наибольшего значения. Найдем m0.

По смыслу числа m0 имеем Pn(m0)³Pn(m0-1) и Pn(m0) ³Pn(m0+1), отсюда

, (21.2)

и

. (21.3)

Решая неравенства (21.2) и (21.3) относительно m0, получаем:

p/m0³ q/(n-m0+1) Þ m0£np+p,

q/(n-m0) ³ p/(m0+1) Þ m0³np-q.

Итак, искомое число m0 удовлетворяет неравенствам

np-q£ m0£np+p. (21.4)

Так как p+q=1, то длина интервала, определяемого неравенством (21.4), равна единице и имеется, по крайней мере, одно целое число m0, удовлетворяющее неравенствам (21.4):

1) если np - q - целое число, то существуют два значения m0, а именно:
m₀ = np - q и m0= np - q + 1 = np + p;

2) если np - q - дробное, то существует одно число m0, а именно единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (21.4);

3) если np - целое число, то существует одно число m0, а именно m₀ = np.

Число m0называется наиболее вероятным или наивероятнейшим значением (числом) появления события A в серии из n независимых испытаний.

22 Примеры испытаний Бернулли и формулы Бернулли

Пример 22.1. Наиболее известным примером испытаний Бернулли является последовательное бросание правильной симметричной монеты; здесь p=q=1/2. Если отказаться от условия симметричности монеты, то мы по-прежнему считаем последовательные испытания независимыми и вновь получаем испытания Бернулли, в которых вероятность успеха может быть произвольной.

Пример 22.2. В примере бросания правильной кости испытание Бернулли возникает, если мы будем описывать результат как А и не А (например, “успех” - если выпала цифра 6 и “неудача” в противном случае). Здесь p=1/6, q=5/6.

Если кость несимметрична, то соответствующие вероятности p и q могут измениться.

Пример 22.3. Стрелок совершает пять выстрелов по мишени, причем все выстрелы производятся практически в одних и тех же условиях. При этом попадание в яблоко мишени рассматривается как “успех” испытания, и число успехов за 5 испытаний может меняться от 0 до 5.

Пример 22.4. Из урны, содержащей N шаров, среди которых М - белых и N-M - черных, последовательно извлекается шар, фиксируется его цвет, и затем шар возвращается обратно. Ясно, что каждое такое извлечение есть испытание Бернулли с .

Пример 22.5 (проверка сывороток или вакцин). Предположим, что нормальная частота заболеваний определенной болезнью среди крупного рогатого скота составляет 25%. Для проверки новой вакцины n животным делают прививки. Разберем вопрос об оценке результата эксперимента.

Если вакцина абсолютно недейственна, вероятность иметь ровно k здоровых среди n подвергнувшихся прививкам Р_n(k) ( в этом случае вероятность успеха р есть вероятность того, что животное здорово, и равно 0,75 ).

Для k=n=10, P₁₀(10)=p¹⁰=0,75¹⁰ »0,056.

Для k=n=12, P₁₂(12) » 0,032.

Таким образом, отсутствие заболеваний среди десяти или двенадцати животных можно рассматривать как подтверждение эффективности вакцины.

Пример 22.6. Имеется партия изделий. Каждое из изделий партии независимо от других может оказаться дефектным с вероятностью р. Из партии произвольным образом выбираются 15 изделий и эти изделия проверяются на годность. Если число дефектных изделий в выборке не более двух, то партию принимают, в противном случае - подвергают сплошному контролю. Какова вероятность того, что партия, для которой р=0,2 , будет принята ?

Решение. Искомая вероятность P- есть вероятность не более 2 успехов в 15 испытаниях схемы Бернулли с р=0,2.

Пример 22.7. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске - 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Решение. np-q £ m₀ £ (n+1)p; 3,6 £ m₀ £ 4,4; m₀=4.

Пример 22.7.Известно, что 1/45 часть продукции, изготовляемой заводом, не удовлетворяет требованиям стандарта. Завод изготовил 4500 единиц продукции. Найти наивероятнейшее число изделий завода, удовлетворяющих требованиям стандарта.

Решение. Поскольку вероятность изготовления бракованного изделия q=1/45, то вероятность изделия, удовлетворяющего стандарту, p=44/45. По формуле (21.4)

450044/45-1/45 £ mo£ 450044/45+44/45,

или

4400-1/45 £ mo£ 4400+44/45.

Итак, искомое наиболее вероятное число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, равна 4400.