Параметры к задачам по геометрической вероятности

9 Сложные события. Нахождение вероятностей сложных событий

В основе теоретико-множественного метода изложения теории вероятностей лежит предположение, что рассматриваемому стохастическому эксперименту всегда может быть поставлено в соответствие некоторое множество W, точки которого выражают наиболее полную информацию о возможных результатах в данном эксперименте.

Множество W называют пространством описаний элементарных случайных событий, а его точки – описаниями элементарных случайных событий (описаниями элементарных исходов), если это множество состоит из взаимоисключающих исходов эксперимента, а каждый интересующий нас результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества.

С множеством W связывают некоторую систему подмножеств , обладающую определёнными свойствами, называемую алгеброй подмножеств множества W. Любое множество из называется случайным событием.

Раз событие формально есть подмножество множества W, то над событиями выполняются те же операции, что и над множествами.

Пусть для некоторого опыта выбрано пространство Ω элементарных событий.

Определение 9.1.Случайные события А и В в пространстве Ω называются эквивалентными или равными (обозначаются А=В), если они состоят из одних и тех же элементарных событий.

Определение 9.2.Суммой (объединением) двух событий А и В (обозначается А+В или A ) называется событие . Событие С означает, что в результате опыта появляется или событие А, или событие В, или оба события А и В вместе.

Определение 9.3.Произведением двух событий А и В (обозначается А^.В, или АВ) называется событие . Событие С означает, что в результате опыта событие А и событие В появляются одновременно.

Определение 9.4.События А и В называются несовместными, если АВ=Æ, то есть если эти события не могут появиться в результате опыта одновременно.

Определение 9.5.Разностью событий А и В (обозначается А\В или А-В) называется событие .

Определение 9.6.Событие Ω\А называется противоположным событию А и обозначается как .

Теорема сложения. Для любых событий А и В

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Следствие 9.1. Если события А и В несовместимы, то

P(A+B)=P(A)+P(B).

Действительно, в этом случае АВ=Æ и Р(АВ)=0.

Следствие 9.7. Для любого события А

Р( )=1-Р(А).

Это следует из равенства А+ =Ω и следствия 1.

Определение 9.8. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Определение 9.9.События независимы в совокупности, если для любых k из них выполняется соотношение:

Если это соотношение выполняется лишь при k=2 , то события называются попарно независимыми. Попарной независимости n событий (n>2) недостаточно для независимости этих событий в совокупности.

Не следует путать понятия независимости и несовместности событий. Напомним, что события А и В в опыте несовместны, если они не могут наступать одновременно, то есть

Определение 9.9. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А.

Если Р(В)>0, то условная вероятность события А при условии, что произошло событие В вычисляется по формуле:

.

Из определения условной вероятности события следует:

Теорема умножения. Если Р(В)>0, то Р(АВ)=Р(В) .

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились, то есть:

.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Пусть события независимы в совокупности и Найти вероятности событий:

A ={не произойдет ни одного из событий }; B = {произойдет хотя бы одно из событий }.

Решение: Если не произойдут события , это значит, что будут иметь место противоположные им события Следовательно, Воспользовавшись тем, что при независимости событий , события так же будут независимыми, получаем: По определению операции объединения событий, событие В может быть представлено в виде: Для независимых событий легко вычисляется вероятность пересечения этих событий, поэтому здесь целесообразно воспользоваться законом де Моргана. В результате будем иметь:

= или

,
где q_i – вероятности противоположных событий .

Определение 9.10.Говорят, что событие A влечет событие B ( обозначается AÌB), если при наступлении события A обязательно наступает и событие B.

Если событие A состоит в том, что наудачу брошенная точка попала в область A, а событие B - в область B, то соотношение AÌB выполняется тогда, когда область A целиком содержится в области B. Если AÌB и одновременно BÌA, то A=B. Очевидно, что для любого события A имеет место включение вида ÆÌAÌW.

Определение 9.11.Пусть W - множество взаимоисключающих исходов некоторого опыта и на этом множестве задана система подмножеств F, удовлетворяющая условиям:

1) WÎF, ÆÎF;

2) из того, что AÎF, следует, что также ÎF;

3) из того, что AÎF и BÎF, следует, что A ÎF, A ÎF и A\BÎF.

Тогда множество F называется алгеброй событий.

Если дополнительно к перечисленным условиям выполняется еще следующее условие:

4) из того, что AiÎF для i=1,2,..., следует, что ÎF и ÎF, то множество F называется s-алгеброй.

Элементы s-алгебры F, заданной на множестве W, называются наблюдаемыми случайными событиями.

Определение 9.12.Неэлементарное событие принадлежащее алгебре или s-алгебре событий называется сложным событием.

Под операциями над случайными событиями часто понимаются операции над соответствующими множествами. В результате можно составить таблицу соответствий между алгеброй множеств и алгеброй событий.

Обозначения	Теория множеств	Теория вероятностей
w	Элемент множества, точка	Исход, элементарное событие
W	Множество точек, пространство	Пространство исходов (элементарных событий); достоверное событие
F	s-алгебра подмножеств	s-алгебра событий
AÎF	Множество точек	Событие (если wÎA, то говорят, что наступило событие A)
=W\A	Дополнение множества A, то есть множество точек w, не входящих в A	Событие, состоящее в ненаступлении события A.
A	Объединение множеств A и B, то есть множество точек w, входящих в A или в В	Событие, состоящее в том, что произошло событие A, либо событие B
A (или AB)	Пересечение множеств A и B, то есть множество точек w, входящих в A и в B	Событие, состоящее в том, что одновременно произошло и событие A, и событие B
Æ	Пустое множество	Невозможное событие
A =Æ	Множества A и B не пересекаются	События A и B несовместны (не могут наступать одновременно)
A+B	Сумма множеств, то есть объединение непересекающихся множеств	Событие, состоящее в том, что произошло одно из двух несовместных событий
A\B	Разность множеств A и B, то есть множество точек, входящих в A, но не входящих в B	Событие, состоящее в том, что произошло событие A, но не произошло событие B
	Объединение множеств A1, A2,...	Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A1,A2,...
	Сумма,то есть объединение попарно непересекающихся множеств A1,A2,...	Событие, состоящее в наступлении одного из несовместных событий A1,A2,,,.
	Пересечение множеств A1,A2,...	Событие, состоящее в том, что одновременно произошли события A1,A2,,,
AÌB	A есть подмножество B	Событие A влечет событие B
A=B	Множества A и B равны	События A и B эквиваленты
	Алгебра или s-алгебра множеств	Алгебра или s-алгебра событий

Отправным пунктом аксиоматического определения вероятностей событий является рассмотренная выше алгебра и s-алгебра событий.

Аксиома 1. Каждому случайному событию A поставлено в соответствие неотрицательное число P(A), называемое его вероятностью.

Аксиома 2. P(W)=1.

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если последовательность событий Аi такова, что Ai =Æ при i ¹ j, то

P( )= . (9.1)

При рассмотрении различных вопросов в теории вероятностей часто приходится рассматривать последовательности случайных событий, поэтому возникает необходимость в дополнительном предположении, названном расширенной аксиомой сложения.

Расширенная аксиома сложения. Если событие A равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий A1,A2,...,An,..., то

P(A)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)+... .

Расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности.

Аксиома непрерывности. Если последовательность событий B1,B2,...,Bn,... такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее и произведение всех событий Bnесть невозможное событие, то P(Bn)®0 при n®¥.

Для n совместных событий теорема сложения имеет вид

P( )= - + -...+
+(-1) P( ). (9..2)

Для несовместных событий имеем соотношение

В общем случае P( )£ ).

10 Примеры задач по сложным событиям

Пример 10.1. Турист из пункта А в пункт В может попасть двумя дорогами. Обозначим события: Е₁ - турист пошел первой дорогой, Е₂ - турист пошел второй дорогой. Из пункта В в пункт С ведут три дороги. Обозначим события: D₁ - турист пошел первой дорогой, D₂ - турист пошел второй дорогой, D₃ - турист пошел третьей дорогой. Если событие F₁ - турист от пункта А до пункта В выбрал дорогу наугад, а от пункта В до пункта С пошел третьей дорогой, то F₁=(E₁+E₂)D₃. Если событие F₂ - турист от пункта А до пункта В пошел не первой дорогой, а от пункта В до пункта С не третьей дорогой, то F₂=E₂(D₁+D₂). Если событие F₃ - турист дошел от пункта А до пункта С, то F₃=(E₁+E₂) (D₁+D₂+D₃).

Пример 10. 2. Из первых десяти натуральных чисел наугад выбирают одно. Найти вероятность того, что выбранное число четное или кратное пяти.

Пусть событие А - выбранное число четное, событие В - выбранное число кратно пяти. Тогда событие А+В - выбранное число четное или кратно пяти, событие АВ - выбранное число четное и кратно пяти. По классическому определению вероятности Р(А)=0,5 Р(В)=0,2 и Р(АВ)=0,1. Следовательно, по теореме сложения Р(А+В)=0,5+0,2-0,1=0,6.

Заметим, что в этом простом опыте вероятность события А+В можно легко найти непосредственно по классическому определению вероятности, так как: А+В={2; 4; 5; 6; 8; 10} для пространства элементарных событий Ω ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Пример 10. 3. В ящике содержатся 10 одинаковых по форме и весу шаров. Среди этих шаров 6 белых и 4 черных. Наугад вынимают последовательно два шара. Найти вероятность того, что вынутые шары белые.

Пусть событие А - первый вынутый шар белый; событие В -второй вынутый шар белый. По классическому определению вероятности Р(А)=0,6 Р(В/А)=5/9. Следовательно, Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=1/3.

Пример 10.4. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность выпадения хотя бы одной “шестерки” на верхних гранях костей.

Обозначим событие А - выпала хотя бы одна “шестерка”, тогда событие - не выпало ни одной “шестерки”. По теореме умножения

Р( )=(5/6)³. Тогда Р(А)=1-Р( )=1-(5/6)³.

Пример 10. 5. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Пусть А – попадание первого стрелка, Р(А)=0,8;

В – попадание второго стрелка, Р(В)=0,9.

Тогда - промах первого, ;

- промах второго, .

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание, Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,72.

б) - двойной промах, .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

.

г) - одно попадание,

.

Пример 10. 6. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1.

=0,6·0,3·0,2+0,4·0,7·0,2+0,4·0,3·0,8=0,188.

2. .

3. P(АВС)=0,6·0,7·0,8=0,336.

11 Условия задач расчета по теме сложные события

Задача №1. Два студента ищут нужную им книгу в букинистических магазинах. Вероятность того, что книга будет найдена первым студентом, равна n, а вторым -m. Какова вероятность, что только один из студентов найдёт книгу?

Задача №2. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна n; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны m и k. Найти вероятность того, что только один из стрелков поразит цель.

Задача №3. Два спортсмена должны выполнить норму мастера спорта. Вероятность того, что первый спортсмен выполнит норму, равна n, а второй -m. Найти вероятность того, что норма будет выполнена только одним спортсменом.

Задача №4. Студент выучил "b" из "a" вопросов программы. Найти вероятность того, что студент не знает хотя бы один из предложенных ему трёх вопросов.

Задача №5. В партии среди "a" изделий "b" изделий являются первого сорта, а (a-b) второго. Наудачу одно за другим без возвращения в партию берут 3 изделия. Найти вероятность того, что хотя бы одно изделие окажется первого сорта.

Задача №6. В ящике лежит d белых и z красных одинаковых на ощупь шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из них белый?