Предельный переход.

Найдем теперь предел

.

Определение.Если существует и он не зависит от

а) способа разбиения отрезка на части и от

б) способа выбора средней точки,

то говорят, что есть определенный интегралот функции f(x) по отрезку [a, b].

Функция f(x) называется в этом случае интегрируемойна отрезке [a, b]. Величины a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Суммы Дарбу. Классы интегрируемых функций

Пусть и . Составим суммы

и .

Они называются суммами Дарбу.

Тогда верна следующая

Теорема.Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы .

Эта теорема позволяет установить классы интегрируемых функций.

Теорема 1.Если f(x) ограничена на [a, b] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [a, b].

Теорема 2.Если f(x) монотонна и ограничена на [a, b], то она интегрируема на [a, b].

Свойства определенных интегралов

Ниже перечислены основные свойства определенного интеграла.

1. ;

2. если , то ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. если , то .