Предельный признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от 0 предел , то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Исследуемый ряд .

1. Проверим выполнение необходимого признака

.

2. Ряд с положительными членами.

3. Применим предельный признак сравнения. Для того, чтобы догадаться, с каким рядом целесообразно сравнить данный ряд, рассмотрим его общий член . Для больших значений n числитель можно считать приближенно равным 2n, a знаменатель - . Поэтому .

Вычислим .

Ряд с общим членом является гармоническим, который всегда расходится, то и данный ряд расходящийся.

Признак Даламбера.

Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .Пример 9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Исследуемый ряд .

1. Необходимый признак выполняется

,

здесь неопределенность , поэтому трижды применяем правило Лопиталя.

2. Ряд с положительными членами.

3. Применим к данному ряду признак Даламбера: , , вычислим предел отношения

Ряд сходится.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

следовательно, исследуемый ряд сходится.

 

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд

Решение

, следовательно, ряд сходится.

 

Признак Коши.

Если при стремится к определенному числу q, то при q<1 ряд с положительными членами сходится; при q> он расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Исследуемый ряд .

1. Необходимый признак выполняется, действительно .

2. Ряд с положительными членами.

3. Общий член ряда находится в n-ой степени, в таких случаях удобно пользоваться признаком Коши

. Ряд сходится.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

, следовательно, ряд расходится. ●

 








Дата добавления: 2016-02-13; просмотров: 1044;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.