Выпуклые и вогнутые функции

Определение 1.Функция f(x) называется выпуклойна отрезке [a, b],если выполнено условие

.

Примерный вид графика выпуклой функции приведен на рис. 3.7. Его отличительной особенностью является то, что график выпуклой функции лежит подхордой, соединяющей две любые ее точки.

Определение 2.Функция f(x) называется вогнутойна отрезке [a, b],если выполнено условие

.

Примерный вид графика вогнутой функции приведен на рис. 3.8. Его отличительной особенностью является то, что график вогнутой функции лежит надхордой, соединяющей две любые ее точки.

Рис. 3.7 Вид графика выпуклойфункции

Рис. 3.8 Вид графика вогнутойфункции

Отметим еще одно свойство этих графиков: график выпуклойфункции лежит над касательной, проведенной к любой ее точке, а график вогнутойфункции – подкасательной.

Неравенство Иенсена.

Пусть f(x) – выпуклаяфункция и пусть удовлетворяют условиям:

a) ;

b) .

Тогда имеет место неравенство

.

Для вогнутой функции неравенство повернуто в противоположную сторону.