Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание – характеристика центра группирования случайных величин:

– для дискретных случайных величин

; (2.27)

– для непрерывных случайных величин

. (2.28)

2. Модой непрерывной случайной величины называется то её значение,
в котором плотность вероятности наибольшая (т. М на рис. 2.4), М является точкой перегиба кривой.Модойдискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

3. Медианой случайной величины Х называется такое её значение, для которого ограниченная кривой распределения площадь делится пополам (т. Ме на рис. 2.4). Площади справа и слева от медианы равны.Можно также определить медиану случайной величины X как такое ее значение Me, для которого
P(X < Me) = P(X > Me). В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

4. Значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности, называется квантилью. Квантиль при вероятности, равной 0,5, называется медианой.

5. Дисперсия есть сумма произведений квадратов разностей случайных величин и математических ожиданий:

– для дискретных случайных величин

; (2.29)

– для непрерывных случайных величин:

. (2.30)

6. Среднее квадратическое отклонение

. (2.31)

7. Коэффициент вариации:

, (2.32)

n (х) < 0,1 – малое значение коэффициента;

n (х) = 0,1…0,33 – среднее значение коэффициента;

n (х) > 0,33 – большое значение коэффициента.

Свойства математического ожидания:

М(ах) = аМ(х), а = const;

М(а + х) = а + М(х);

М(х ± у) = М(х)± М(у);

М(ху) = М(х) × М(у);

М(х²) = (М(х))² + D(х).

Свойства дисперсии:

D(ах) = а²D(х), а = const;

D(а + х) = D(х);

D(х ± у) = D(х)± D(у);

D(х²) = М(х⁴) – [(М(х))² + d(х)²].

Пример 2.1. Закон распределения случайной величины задан в виде таблицы:

Определить числовые характеристики случайных величин.

Решение:

М(х) = 1 · 0,3 + 2 · 0,5 + 5 · 0,2 = 2,3

D(х) = (1 – 2,3)²· 0,3 + (2 – 2,3)² · 0,5 + (5 – 2,3)² · 0,2 » 2

.

Пример 2.2. Функция распределения имеет вид:

Оценить количественно, что вероятность примет значение из диапазона (0,5; 1). Какова вероятность попадания случайной величины в диапазон (0,5; 1) при условии, что событие не появится?

Решение:

,

.

Контрольные вопросы и задачи

1. Почему надёжность необходимо рассматривать в вероятностном аспекте?

2. Как можно подсчитать вероятность безотказной работы через число отказавших объектов и общее число объектов?

3. Какими способами задаются случайные величины?

4. Перечислите и поясните основные теоремы вероятности.

5. Назовите следствия основных теорем теории вероятностей.

6. Закон распределения случайной величины задан в виде таблицы:

Известно, что M(x) = 0.

Найти D(x), (x), ν(x), M(x²).

7. Функция распределения имеет вид:

Найти вероятность того, что вероятность примет значение из диапазона

(¹/₃; ²/₃).

8. Прибор работает в двух режимах: «1» и «2». Режим «1» наблюдается в 60 % случаев, режим «2» – в 40 % случаев за время работы T. В режиме «1» прибор отказывает с вероятностью, равной 0,3, а в режиме «2» – с вероятностью 0,5. Определить вероятность отказа прибора за время T. Ответ: 0,38.

9. Прибор (рис. 2.5) состоит из трех блоков, которые независимо друг от друга могут отказать. Отказ каждого из блоков приводит к отказу всего прибора. Вероятность того, что за время T работы прибора откажет первый блок, равна 0,15, второй – 0,25, третий – 0,1. Найти вероятность того, что время T прибор проработает безотказно.

Ответ: 0,57375.

Рис. 2.5. Схема прибора

10. Прибор (рис. 2.6) состоит из двух блоков, дублирующих друг друга. Вероятность того, что время T каждый из блоков проработает безотказно, равна 0,9. Отказ прибора произойдет при отказе обоих блоков. Найти вероятность того, что время T прибор проработает безотказно.

Ответ: 0,99.

Рис. 2.6. Схема прибора