КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия и определения

Испытанием (опытом) называется одно из сколь угодно большого числа раз воспроизводимого определённого перечня (состава) условий.

Событие – совокупность явлений, происходящих в результате испы­тания.

Если событие происходит неизбежно в результате каждого испытания, оно называется достоверным.

Если событие не может произойти, оно называется невозможным.

Множество возможных при данном испытании и связанных с ним событий называется полем событий, а события этого поля – случайными событиями.

Случайное событие – всякий факт (исход), который может произойти или не произойти.

Выборкой называется небольшая часть некоторого множества объектов, отобранная наугад. При этом отобранные объекты правильно отражают качества и свойства элементов множества, что достигается в результате тщательного предварительного перемешивания (диспергирования) свойств. Отбор каждого элемента выборки является испытанием и завершается соответствующим событием.

Выборка с возвращением – при последовательном выборе шаров из урны после каждого выбора взятый шар возвращается в урну.

Выборка без возвращения – из урны выбирается некоторое количество шаров без возвращения.

Пусть n – число элементов выборки от 1 до n. Осуществление выборки представляет собой поле событий

А₁, А₂,…, А_n, (2.1)

где А_n – отбор n-го элемента, а события поля равновозможны.

События поля могут быть элементарными и сложными. Сложному событию А_n{n₁, n₂, …, n_k}, где n₁< n₂<…< n_k – номера элементарных событий, составляющих сложное, соответствует появление событий с номерами n₁, или n₂, или n_k. Здесь каждому событию А_n соответствует некоторое количество (или подмножество) элементарных событий.

Говорят, что событие А влечёт за собой событие В (из А следует В), если при наступлении А неизбежно наступление В.

Если из А следует В и одновременно из В следует А, то события А и В эквивалентны, или А = В.

Каждое событие поля представляет собой подмножество некоторых событий из множества (А₁, А₂,…, А_n). Например, событие В, состоящее в появлении номеров 2, 5, 7, принято обозначать В{2, 5, 7}. Его записывают как логическую сумму

В = А₂+ А₅+ А₇, (2.2)

где «+» равнозначен союзу «или».

В данном случае можно событие В представить как сумму двух событий

В = {2, 5} + {7}

или В = (А₂+ А₅) + А₇. (2.3)

Событие В является также суммой несовместных событий, так как события {2, 5} и {7} не могут произойти в одном испытании. Совместными являются события {1, 2, 3, 4} и {4, 5, 6, 7}, они наступают вместе в тех испытаниях,
в которых появляется номер 4. Сумма {1, 2, 3} + {1, 2} тождественна событию {1, 2, 3}.

Сумма любых двух событий поля есть событие того же поля.

Полю всегда принадлежит достоверное событие S{1, 2, … n},заключающееся в том, что выбирается один из номеров от 1 до n. События «–n»,…,
«–1»,0, n+1 невозможны и обозначаются («не А»).

События А и – взаимно дополнительны или противоположны, если они несовместны и составляют в сумме достоверное событие, т. е. достоверно то, что наступит А или .

Под произведением событий А₁, А₂,…, А_n понимается одновременное наступление их всех, т. е. когда А₁,и А₂, и … и А_n наступают вместе.

Произведением двух событий С {1, 2, 3, 4} и D{2, 4, 6, 8} является событие Е = СD = {2, 4}.

Случайной называется величина, которая может принять какое-либо неизвестное заранее возможное значение, зависящее от случайных факторов, не поддающихся учету (обозначается ).

Случайные величины могут быть прерывными (дискретными) и непрерывными.

Прерывными (дискретными) называются величины, которые принимают отделённые друг от друга значения.

Непрерывными называются величины, возможные значения которых заполняют непрерывно некоторый конечный или бесконечный промежуток (ресурс).

Относительная частота.Пусть проводится серия из N испытаний в одинаковых условиях. Если интересующее нас событие, например А,произошло раз, то отношение

(2.4)

называется относительной частотой появления события А в данной серии испытаний. Очевидным является то, что

, (2.5)

для невозможного события, для достоверного события.

Вероятность.Каждому из событий можно поставить в соответствие
определенное число, называемое его вероятностью Р = Р(«А»)или
Q = Р(«не А»)и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Вероятность есть численная мера, характеристика возможности появления события в диапазоне значений 0…1.

. (2.6)

Вероятность достоверного события равна единице

. (2.7)

Вероятность противоположного события дополняет вероятность данного события до единицы

, (2.8)

где А и – противоположные события.

Вероятность невозможного события равна нулю

. (2.9)

Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу, равна единице

, (2.10)

где А₁, А₂, … А_n – несовместные события, составляющие достоверное событие (полную группу событий).

Классическое определение вероятности: вероятность события А есть отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех возможных элементарных несовместных и равновозможных исходов испытания.

. (2.11)

В большой серии испытаний относительная частота (А) приближается к вероятности P(А).