Предварительные сведения

Безотказность и другие свойства надёжности проявляются через случайные величины: наработку до отказа (наработку между отказами) и количество отказов за заданное время. Поэтому количественными характеристиками здесь выступают вероятностные переменные.

Наработка – продолжительность (объём) работы объекта. Измеряется в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружений, километры пробега и т. п.). Объект может работать непрерывно (с учётом перерывов на ремонт) или с перерывами, не зависящими от технического состояния (в этом случае различают непрерывную и суммарную наработки).

Появление отказов не предопределено заранее, т. е. случайно, поэтому теория надежности основана на математическом аппарате теории вероятностей и математической статистики.

Для оценки надёжности проводятся эксплуатационные испытания значительного числа N элементов в течение времени t. Пусть к концу испытаний остается N_р работоспособных элементов и n отказавших.

Тогда относительное количество отказов:

. (3.1)

Вероятность безотказной работы оценивается относительным количеством работоспособных элементов:

. (3.2)

Вероятность безотказной работы (ВБР) означает, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет.

Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна единице:

P(T) + Q(t) = 1,

=F(t).

F(t) есть интегральная функция распределения случайной наработки t.

Так как события, заключающиеся в том, что наступил или не наступил отказ к моменту наработки t, являются противоположными, то нетрудно убедиться, что P(t) является убывающей, а Q(t) – возрастающей функцией наработки (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Изображения функций P(t) и Q(t)

Действительно: а) в момент начала испытаний (t = 0) число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N,
а число отказавших – n(t) = n(0) = 0,

поэтому P(t) = P(0) = 1,а Q(t) = Q(0) = 0;

б) при наработке t, возрастающей до бесконечности (t ∞), все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е.

N(∞) = 0, а n(∞) = N, поэтому P(t) = P(∞) = 0,а Q(t) = Q(∞) = 1.

Вероятность безотказной работы есть количественная мера того, что случайная величина наработки до отказа T окажется не меньше некоторой заданной наработки t, если t ≥0:

P(t) = P{T ≥ t}. (3.3)

Очевидно, что Q(t) является функцией распределения случайной величины T и представляет собой вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

Q(t) = P{T < t}. (3.4)

Пример 3.1. Найти P(t) в интервале наработки [t, t + ∆t] при условии, что объект безотказно проработал до начала t интервала.

Решение:

Вероятность определяется посредством использования теоремы умножения вероятностей и выделения следующих событий:

A = {безотказная работа объекта до момента t};

B = {безотказная работа объекта в интервале ∆t};

C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + ∆t}.

Очевидно, что P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B/A), поскольку события A и B будут зависимыми.

Условная вероятность P(B/A)представляет P(t, t + ∆t) в интервале
[t, t + ∆t], поэтому

P(B / A) = P(t, t + ∆t) = P(C) / P(A) = P(t + ∆t) / P(t). (3.5)

Q(t) в интервале наработки [t, t + ∆t], с учётом (3.5), равна:

Q(t, t + ∆t) = 1 – P(t, t + ∆t) = [P(t ) – P(t + ∆t)] / P(t). (3.6)

Все изделия являются либо невосстанавливаемыми, либо восстанавливаемыми.