Расчет напряжений и деформаций в тонком вращающемся неравномерно нагретом диске.

Допущения:

1. Диск достаточно тонкий, следовательно, распределение напряжений по толщине можно принять равномерным.

2. Напряженное состояние двухосное, характеризуется радиальным напряжением σ_r и окружным напряжением σ_θ.

3. Температурное поле диска – плоское осесимметричное, то есть температура диска зависит только от радиуса Т(r) и постоянна по толщине.

4. Свойства материала (модуль упругости E и коэффициент Пуассона μ) – постоянные для всего диска, их зависимостью от температуры пренебрегаем.

Пусть диск вращается с угловой скоростью ω. Рассмотрим сектор симметрии диска, приходящийся на одну рабочую лопатку. Введем следующие обозначения (рис.7):

– радиус внешней цилиндрической поверхности или периферийный радиус - r₁;

– радиус внутренней цилиндрической поверхности (радиус расточки диска) – r₀;

– толщина диска на окружности радиуса r₁ (на периферии) - h₁;

– толщина диска на окружности радиуса r₀ (на расточке) - h₀.

– на внешней цилиндрической поверхности при r=r₁ действуют равномерно распределенные по толщине напряжения σ_r1, обусловленные центробежными силами обода и рабочих лопаток,

где t₁ – шаг лопаток по окружности радиуса r₁; С – центробежная сила одной лопатки; С_об – центробежная сила обода диска, отнесенная к шагу t₁; – поправочный коэффициент (0,7 – 1);

– на внутренней цилиндрической поверхности при r=r₀ действуют равномерно распределенные по толщине напряжения σ_r0, обусловленные контактным давлением посадки диска на вал q₀.

Необходимо определить распределение радиальных и окружных напряжений по радиусу диска – σ_r(r) и σ_θ(r).

Для решения поставленной задачи следует составить уравнения равновесия и совместности деформаций, а также выбрать закон деформирования. Рассмотрим элемент диска, выделенный из сектора симметрии (рис. 7) двумя цилиндрическими сечениями на радиусах r и r+dr и двумя меридиональными плоскостями с углом dθ между ними (рис. 8).

где dm – масса выделенного элемента, составляющая

Таким образом, центробежная сила инерции выразится как

где ρ – плотность материала диска.

Согласно методу сечений со стороны отброшенной части тела на поверхностях, ограничивающих выделенный элемент, будут действовать поверхностные силы

Составим уравнение равновесия, спроецировав силы (2) и (3) на направление радиуса,

Продифференцировав последнее выражение последовательно по dθ и dr, получаем

Уравнение равновесия (4) содержит две неизвестных (σ_r и σ_θ), следовательно, задача статически неопределима. Для получения второго уравнения рассмотрим деформации выделенного элемента диска.

Деформация диска будет заключаться в его удлинении в радиальном направлении. Радиальное перемещение точек внутренней поверхности – u. Точки наружной поверхности переместятся по радиусу на u+du. Следовательно, толщина выделенного элемента dr увеличится на du (рис. 8). Таким образом, относительные линейные деформации в радиальном направлении составят

В окружном направлении относительные линейные деформации ε_θ будут равны относительному удлинению дуги ab=rdθ, занявшей положение cd=(r+u)dθ (рис. 8)

Продифференцировав выражение (6) по радиусу r

окончательно получим уравнение совместности деформаций

Уравнения равновесия (4) и совместности деформаций (7) не зависят от закона деформирования и одинаково применимы как к упругому диску, так и в условиях упругопластических деформаций или ползучести.

Рассмотрим диск в условиях упругости. Уравнения, связывающие напряжения и деформации, выражены законом Гука в следующем виде

Подставив формулы (8) в уравнение совместности деформаций (7), получим

Умножим полученное выражение на E и окончательно получим

Система уравнений (4) и (9) содержит две неизвестные величины σ_r и σ_θ. Её решение позволит определить искомые напряжения, которые должны удовлетворять граничным условиям:

где q₀ – давление посадки диска на валу.

В общем случае, когда диск имеет переменную толщину h(r), для решения полученной системы уравнений необходимо применение численных методов. Рассмотрим частный случай диска постоянной толщины, для которого существует простое аналитическое решение.