Температурные напряжения в диске постоянной толщины

Пусть диск не вращается. Тогда комплексы a_r и a_θ в формулах (16) и (18) равны нулю, а распределение температурных напряжений описываются следующими соотношениями:

где коэффициенты A и B определяются из условий равенства нулю силовых нагрузок на периферии и расточке диска:

Закон изменения температуры по радиусу диска будем аппроксимировать функцией:

где ΔT – разность температур диска на периферии и в центре; m – постоянный показатель, m=2–4.

Принимаем, что T=0 при r=0, так как в рассматриваемом случае температурные напряжения не зависят от начала отсчета температур и определяются только ее разностью.

Определим температурные функции в формулах (36) и (37). Согласно обозначению (15)

Подставим полученные выражения (40) и (41) в общие решения (36) и (37):

Обозначив

получим

Применим граничные условия (38) к уравнению (43):

Вычтем из первого уравнения системы (45) второе:

Значение коэффициента A определим подстановкой выражения (46) во второе уравнение системы (45):

Распределение радиальных температурных напряжений по радиусу диска постоянной толщины найдем, выполнив замену коэффициентов A и B их выражениями (46) и (47) в общем решении (43),

Обозначив α=r₀/r₁, получим

Аналогично получим выражение для распределения окружных температурных напряжений по радиусу диска постоянной толщины:

В частном случае сплошного диска при r₀=0 и α=0 из уравнений (48) и (49) имеем

Распределения температурных напряжений по радиусу дисков постоянной толщины приведены на рис. 11 и рис. 12.

Максимальное по абсолютной величине значение имеет окружное напряжение на периферии диска. Так для диска без центрального отверстия окружное напряжение на периферии (r=r₁) составит

а в центре при r=0 –

то есть в m раз меньше, чем на периферии.

Влияние центрального отверстия на температурные напряжения можно установить из зависимости (49), полагая, что r=r₀:

Определим коэффициент концентрации температурных напряжений в центре диска, обусловленный наличием центрального отверстия:

При α<<1 имеем α_σT=2, то есть при центральном отверстии малого диаметра окружные температурные напряжения σ_θ на поверхности центрального отверстия диска в 2 раза больше, чем для сплошного диска.

Температурные окружные напряжения в центральной зоне диска – растягивающие. При их суммировании с динамическими окружными напряжениями увеличивается общая напряженность диска. В периферийной зоне окружные температурные напряжения – сжимающие и достигают в этой области максимальной абсолютной величины. По знаку они противоположны окружным динамическим напряжениям. Суммарные окружные напряжения в периферийной зоне и их знак зависят от максимальных температурных и динамических напряжений в диске.