Расчет напряжений в диске произвольного профиля на основе решения для диска постоянной толщины

С помощью цилиндрических сечений разобьем диск произвольного профиля по радиусу на n участков (рис. 14). Будем считать, что в пределах каждого участка толщина диска постоянная.

Получившийся таким образом диск ступенчатого профиля состоит из участков постоянной толщины, для каждого из которых справедливы общие решения (16) и (18) со своими значениями постоянных интегрирования

где A_s и B_s – значения постоянных интегрирования для рассматриваемого участка с порядковым номером s (s=1, 2, 3, …, n). Нумерация участков производится от периферии диска.

1. Условие равновесия сил, приложенных к бесконечно тонкому слою, включающему стык, то есть

Разделив обе части последнего выражения на h’’, окончательно получим

где σ’_r, h’ – радиальное напряжение и толщина диска до скачкообразного изменения толщины; σ’’_r, h’’ – то же после скачкообразного изменения толщины.

2. Условие равенства радиальных смещений в месте стыка

где u’ – радиальное смещение до скачкообразного изменения толщины; u’’ – радиальное смещение после скачкообразного изменения толщины. Разделим обе части выражения (67) на радиус стыка r:

Выразим деформации через напряжения, используя закон Гука,

Учитывая, что температурные деформации не могут меняться скачкообразно, имеем

Рассчитать напряжения в диске произвольного профиля можно, применив метод двух расчетов.

Перепишем уравнения (65) следующим образом:

Обозначим выражения, стоящие в левых частях формул (69), соответственно функциями p_r(r) и p_θ(r), то есть

Тогда с учетом (70) уравнения (69) примут вид:

Первый расчет.

1. Принимается заданное из граничного условия на периферии значение σ_r1 и произвольное окружное напряжение на периферии σ_θ1≠0 (любое число).

2. Записываются уравнения (71) при r=r₁ и s=1, то есть на периферии диска:

где p_r1 и p_θ1 – известные числа, полученные по формулам (70) при r=r₁.

Выражения (72) представляют собой систему из двух уравнений относительно двух неизвестных A₁ и B₁. Сложив уравнения (72), получим значение коэффициента A₁:

Вычитая из второго уравнения системы (71) первое, определим значение коэффициента B₁:

3. По найденным значениям A₁ и B₁, используя формулы (65), определяются напряжения в любой точке первого участка и, в частности, на его второй границе при r=r₂, то есть

Верхним индексом обозначены значения напряжений до скачкообразного изменения толщины при r=r₂.

4. Для определения напряжений после скачкообразного изменения толщины используются формулы (66) и (68):

Эти напряжения являются начальными для второго участка. По найденным значениям σ’’_r2 и σ’’_θ2 определяются p_r2 и p_θ2 по формулам (70) при r=r₂. Далее записывается система уравнений (71) при r=r₂ и s=2

из решения которой находятся значения коэффициентов A₂ и B₂:

5. Используя значения A₂ и B₂,по формулам (65) определяются напряжения в любой точке второго участка и, в частности, на его нижней границе при r=r₃ и т.д.

В результате по этой методике определяется система напряжений σ^I_r(r) и σ^I_θ(r). Верхний индекс означает напряжения первого расчета. Однако полученные значения не будут удовлетворять граничным условиям на расточке диска при r=r₀ (σ^I_r0≠σ_r0), так как при выполнении первого расчета произвольно принималось значение окружного напряжения на периферии.

Для удовлетворения граничному условию на расточке диска выполняется второй расчет при следующих допущениях: σ_r1=0; σ_θ1≠0 (любое число); ω=0; ΔТ=0.

Второй расчет производится по той же самой методике, как и первый, по уравнениям (65) без учета вращения и неравномерного нагрева. В результате определяется система напряжений σ^II_r(r) и σ^II_θ(r).

Действительные напряжения вычисляются как

где k – корректирующий множитель.

Напряжения (76) удовлетворяют граничным условиям на периферии диска при любом k. Значение корректирующего множителя определяется исходя из граничных условий на расточке. При условии, что σ_r(r₀)=σ_r0, имеем