Динамические напряжения в диске постоянной толщины с центральным отверстием

Пусть T=T_m≡0, а радиальные напряжения на периферии и расточке диска соответствуют условиям (10). Подчиняя общее решение (16) этим условиям, получаем

Полученная система из двух алгебраических уравнений включает две неизвестных величины A и B. Для определения B вычтем из первого уравнение второе:

Выражение для A получим из первого уравнения системы (24), используя формулу (25):

Подставив соотношения (25) и (26) для параметров A и B в общее решение (16), получим

Сгруппируем слагаемые, содержащие σ_r1, σ_r0 и a_r, в комплексы S₁(r), S₂(r) и S₃(r) соответственно, а функцию σ_r(r) представим как

Подставив выражения (28), (29) и (30) в формулу (27), получим распределение радиальных динамических напряжений в диске постоянной толщины с центральным отверстием:

Распределение окружных динамических напряжений в диске постоянной толщины с центральным отверстием получим, выполнив подстановку соотношений (25) и (26) в общее решение (18):

Первые слагаемые в формулах (31) и (32) соответствуют напряжениям от периферийной нагрузки, вторые слагаемые соответствуют напряжениям от нагрузки на расточке диска, третьи слагаемые соответствуют напряжениям в свободно вращающемся диске без краевых нагрузок.

Типичные эпюры напряжений в диске с отверстием представлены на рис. 10. Очевидно, что максимальными будут окружные напряжения на расточке диска. Вычислим их, подставив значение r=r₀ в соотношение (32),

Обозначим α=r₀/r₁ и q₀=-σ_r. Тогда

При увеличении r₀ возрастает α и все три слагаемых в формуле (33), следовательно, растёт значение σ_θmax.

Сравним максимальное окружное напряжение σ^’’_θmax в диске с малым центральным отверстием при q₀ =0 с окружным напряжением σ^’_θmax в центре сплошного диска. При условии, что для малого отверстия α<<1 из формулы (33) имеем

Окружное напряжение в центре сплошного диска получаем из соотношения (23) при r=0:

Из уравнений (34) и (35) следует

то есть центральное отверстие малого диаметра в сплошном диске приводит к увеличению максимального окружного напряжения в 2 раза. Следовательно, малое отверстие в диске является источником концентрации напряжений с коэффициентом концентрации α_σ=2.