Теорема сложения вероятностей совместных событий

Была рассмотрена теорема сложения для несов­местных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1. А – появление четырех очков при бросании играль­ной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны веро­ятности этих событий и вероятность их совместного по­явления. Как найти вероятность события А+В, состоя­щего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероят­ностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А+В наступит, если насупит одно из следующих трех несовместных событий: или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

Р(А + В) = Р + Р + Р(АВ). (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух Несовместных событий: или . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

.

Отсюда

. (**)

Аналогично имеем

.

Отсюда

. (***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

. (****)

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, зависимыми.

Для независимых событий

;

для зависимых событий

.

Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р (АВ)= 0. Формула (****) для несовместных событий принимает вид

.

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совмест­ных, так и для несовместных событий.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: ; . Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому собы­тия А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)

.

Искомая вероятность

.

Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой (см. гл. III, § 5). В самом деле, вероятности событий, про­тивоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы:

.

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна

.

Как и следовало ожидать, получен тот же результат.