Независимые события. Теорема умножении для независимых событий

Пусть вероятность события В не зависит от по­явления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

. (*)

Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим

.

Отсюда

,

т. е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероят­ности. Другими словами, событие А не зависит от со­бытия В.

Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид

, (**)

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Пример 1. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) - 0,7.

Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

.

Замечание 1. Если события А и В независимы, то независимы также события А и , и В, и . Действительно,

.

Следовательно,

, или .

Отсюда

, или ,

т. е. события А и В независимы.

Независимость событий и В, А и - следствие доказанного утверждения.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокуп­ности (или просто независимыми), если независимы ка­ждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если со­бытия независимы в совокупности, то неза­висимы события A₁ и A₂, A₁ и А_3, A₂ и А₃; A₁ и А₂ А₃; А₂ и A₁ А₃; А₃ и A₁ А₂. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероят­ность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие собы­тия из числа остальных, равна его безусловной вероят­ности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один – в красный цвет (А), один – в синий цвет (В), один – в черный цвет (С) и один – во все эти три цвета (ABC). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р(А) = 2/4 = 1/2. Рассуждая аналогично, найдем Р (В) = 1/2, Р (С) = 1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие В уже произошло. Изме­нится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-преж­нему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следова­тельно, события А и В независимы. Аналогично придем к выводу, что события А и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказы­вается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероят­ность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность Р_ВС(А)=1 собы­тия А не равна его безусловной вероятности Р (А) = 1/2. Итак, попарно независимые события А, В, С не являются независимыми в совокупности.

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей тих событий:

.

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно сов­мещению событий АВ и С, поэтому

.

Так как события А, В и С независимы в совокуп­ности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух неза­висимых событий имеем:

и .

Итак, окончательно получим

.

Для произвольного n доказательство проводится ме­тодом математической индукции.

Замечание. Если события независимы в совокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности.

Пример 2. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Вероятность появления герба первой монеты (со­бытие А)

.

Вероятность появления герба второй монеты (событие В)

.

События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

.

Пример 3. Имеется 3 ящика, содержащий по 10 деталей. В пер­вом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти веро­ятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А),

.

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В),

.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С),

.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то ис­комая вероятность (по теореме умножения) равна

-

Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.

Пример 4. Вероятности появления каждого из трех независимых событий соответственно равны . Найти вероят­ность появления только одного из этих событий.

Решение. Заметим, что, например, появление только первого события А₁ равносильно появлению события (появилось пер­вое и не появились второе и третье события). Введем обозначения:

– появилось только событие А₁, т. е. ;

- появилось только событие А₂, т. е. ;

- появилось только событие А₃, т. е. .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий , будем искать вероятность появления одного, безразлично какого из событий .

Так как события несовместны, то применима теорема сложения

. (*)

Остается найти вероятности каждого из событий .

События независимы, следовательно, независимы события поэтому к ним применима теорема умножения

Аналогично,

Подставив эти вероятности в (*), найдем искомую вероятность появ­ления только одного из событий :

.