Условная вероятность

Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности усло­вий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло со­бытие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров. из них 3 белых. Искомая условная вероятность

Этот же результат можно получить по формуле

. (*)

Действительно, вероятность появления белого шара при первом ис­пытании

.

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании по­явится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов – совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют исходов. Следовательно,

.

Искомая условная вероятность

.

Как видим, получен прежний результат.

Исходя из классического определения вероятности, формулу (*) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна

.