Безусловная оптимизация управления

Одним из наиболее простых методов решения задачи безусловной оптимизации является метод Ньютона. Для этого целевую функцию дифференцируют в частных производных и приравнивают эти производные к нулю.

Пусть имеется зависимость

.

Найти такие значения a и g , при которых h_з = min. Дифференцируя в частных производных, получим

;

.

Так как , то ; .

Отсюда ; .

Другим методом решения задачи безусловной оптимизации является покоординатный метод.

Покоординатный метод определения максимума функции нескольких переменных в области [z , z ] включает в себя многократное решение (поочередно для каждой переменной) задачи определения максимума функции одной переменной.

Максимум функции одной переменной определяется методом золотого сечения. Для этого в области [z , z ], на которой решается задача оптимизации, задается начальная точка z , а целевая функция рассматривается при фиксированных значениях всех факторов кроме одного, изменяющегося в пределах

z z z .

Устанавливают два значения этого фактора, равные

z = 0,618 z + 0,382 z ;

z = 0,382 z + 0,618 z .

Затем вычисляют соответствующие им значения целевой функции

R = F(z ) и R = F(z )

и сравнивают их между собой.

Если R > R , то z < z . Тогда оптимум фактора z должен лежать в пределах z z z , а z присваивается значение, равное

z = z ,

Если R < R , то z > z . Тогда оптимум фактора z должен лежать в пределах

z z z ,

а z присваивается значение, равное

z = z .

Сужение пределов осуществляется последовательно до тех пор, пока разность верхней и нижней границ не будет превышать точности вычислений.

Оптимум фактора z определяется как полусумма верхней и нижней границ

z = (z + z ) / 2 .

Это значение принимают за начальное при определении оптимума следующего фактора z .

В результате каждого шага начальная точка перемещается ближе к оптимуму. Этот процесс продолжается до тех пор, пока разность между начальной и конечной точками не будет меньше точности вычислений.