Методы решения задач управления

Решением задач оптимального управления физическими процессами занимается математическое программирование, т.е. раздел математики, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций многих переменных при наличии дополнительных ограничений на эти переменные, имеющих форму равенств или неравенств.

В основе оптимального управления лежит принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности. Условием оптимальности является максимум некоторой функции многих переменных, характеризующей качество управления.

Математическое программирование включает в себя линейное программирование, нелинейное программирование (в том числе выпуклое и квадратичное программирование), динамическое программирование (для многошаговых процессов), дискретное программирование, стохастическое программирование и параметрическое программирование.

Чаще всего для решения задач управления физическими процессами используют методы линейного, нелинейного и стохастического программирования. Решение таких задач может осуществляться также методом безусловной оптимизации.

Безусловная оптимизация – раздел математики, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций многих аргументов при отсутствии дополнительных ограничений на эти аргументы.

Нелинейное программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов нелинейных функций многих аргументов при наличии дополнительных нелинейных ограничений на эти аргументы, имеющих форму равенств.

Линейное программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов линейных функций многих переменных при наличии дополнительных линейных ограничений на эти переменные, имеющие форму неравенств.

Стохастическое программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов функций многих аргументов при заданной вероятности выполнения дополнительных ограничений на эти аргументы.

Информация о методе решения задачи управления определяется информацией о цели и эффективности управления.

Метод безусловной оптимизации применяется в случаях, когда целевая функция имеет локальный или глобальный экстремум.

Метод нелинейного программирования применяется в тех случаях, когда целевая функция и ограничения являются нелинейными, а сама целевая функция экстремума не имеет.

Метод линейного программирования применяется в тех случаях, когда целевая функция и ограничения являются линейными или нелинейными, которые путем преобразования приводят к линейным. Например, в случае использования степенных мультипликативных функций

R = c ,

которые путем логарифмирования приводят к линейным полиномиальным

ln R = ln c + a ln z_j .

Метод стохастического программирования применяется в случаях, когда параметры физического процесса являются случайными функциями, а ограничения на параметры заданы вероятностями их выполнения, т.е. в случаях обеспечения надежности управляемого физического процесса.

Задачи управления

Всякая задача оптимального управления состоит в выборе среди множества допустимых решений (допустимых управляющих воздействий) такого, которое в некотором смысле можно квалифицировать как оптимальное.

Допустимые решения – это решения, которые находятся внутри области управления и удовлетворяют всем без исключения ограничениям, накладываемым целью управления.

Оптимальное решение – это решение, которое находится на границе области допустимых решений и обеспечивает максимальное значение целевой функции.

Допустимость каждого решения понимается как в смысле возможности его фактического осуществления, так и в смысле достижения цели управления, а оптимальность – в смысле его максимальной эффективности.

Задача управления формулируется следующим образом: внутри области управления определить такое сочетание значений управляющих факторов z_j, которое обеспечивает максимальную эффективность управления, задаваемую целевой функцией этих факторов, при наличии или отсутствии дополнительных ограничений в виде равенств или неравенств на зависимые от этих факторов параметры R_i.

Существующие методы решения позволяют решать следующие задачи управления: безусловной оптимизации, нелинейного программирования, линейного программирования и стохастического программирования.

Задача безусловной оптимизации формулируется следующим образом: пусть дана нелинейная целевая функция F(z_j), имеющая экстремум в некоторой точке z_jo . Найти такие значения переменных z_jо, которые обеспечивают максимальную эффективность физического процесса, заданную этой функцией

F(z_j) = max, j = 1 ... n.

Целевые функции могут быть представлены в виде экспоненциально-степенных мультипликативных функций вида

или квадратных полиномиальных функций вида

.

Задача нелинейного программирования формулируется следующим образом: максимизировать нелинейную целевую функцию

F_o(z_j) = max, j = 1 ... n ,

с помощью которой проводится оценка эффективности управления, при линейных ограничениях - равенствах

F_i(z_j) – [R_i] = 0, i = 1 ... m-1,

накладываемых на решение задачи целью управления.

Задача линейного программирования формулируется следующим образом: максимизировать линейную или логарифмически линейную целевую функцию

F_o(z_j) = max или F_o(ln z_j) = max, j = 1 ... n,

с помощью которой оценивается эффективность управления при заданных условиях выполнения линейных или логарифмически линейных ограничениях – неравенствах

F_i(z_j) – [R_i] £ 0 или F_i(ln z_j) – ln [R_i] £ 0, i = 1 ... m-1,

накладываемых на решение задачи целью управления.

Задача стохастического программирования формулируется следующим образом: максимизировать линейную или логарифмически линейную целевую функцию

F_o(z_j) = max или F_o(ln z_j) = max, j = 1 ... n,

с помощью которой оценивается эффективность управления при заданной вероятности выполнения линейных или логарифмически линейных ограничений – неравенств

Prob{F_i(z_j) £ [R_i]} ³ F(R_i), i = 1 ... m-1

или

Prob{F_i(ln z_j) £ ln [R_i]} ³ F(R_i), i = 1 ... m-1,

накладываемых на решение задачи целью управления.

Задача стохастического программирования заключается в определении таких значений переменных z , которые обеспечивают максимальную эффективность управления, задаваемую целевой функцией

a ln z = max, j = 1 ... n

при заданной вероятности соблюдения установленных ограничений на параметры процесса

P ( a ln z ln ([R ]/c )) > F(R ), i = 1 ... m .

Такая задача не может быть решена непосредственно. Возможным путем решения этой задачи является переход к детерминированному эквиваленту. В основе перехода лежит использование закона распределения случайного параметра.