Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероят­ности Р (А) и известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предпо­ложении, что первое событие уже наступило:

Доказательство. По определению условной веро­ятности,

.

Отсюда

. (*)

Замечание. Применив формулу (*) к событию ВА, получим

,

или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

. (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

. (***)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появилось

,

где - вероятность события , вычисленная в предположении, что события наступили. В частности, для трёх событий

.

Заметим, что порядок, в котором расположены собы­тия, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероят­ность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй- эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется ко­нусным (событие А),

Р(А) =3/10.

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность

.

По теореме умножения, искомая вероятность

.

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: ,

что наглядно иллюстрирует спра­ведливость равенства (***).

Пример 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не воз­вращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р(А) = 5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вы­численная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором – черный, т. е. условная вероятность

.

Искомая вероятность

.