Геометрический способ определения вероятностей

Данный способ применяют тогда, когда опыт относится к схеме случаев, но число благоприятных случаев и число равновозможных и несовместных случаев подсчитать невозможно, но можно поставить этим числам в однозначное соответствие определенные длины, площади, объемы и другие физические величины.

Пример 4: Имеется некоторый монтажный провод длиной L. Разрыв может произойти в любой точке с одинаковой вероятностью. Определить вероятность того, что разрыв произойдет на участке длиной l, если считать, что разрыв одновременно в нескольких точках невозможен.

Решение.

Поставив в соответствие числам m и n длины l и L, вероятность разрыва провода на участке l можно определить по формуле

Рассмотренный пример иллюстрирует геометрическое определение вероятности: вероятность случайного события есть отношение длины участка благоприятного появлению события к длине всего провода.Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Алгебра событий

Для успешного решения некоторых типовых задач необходимо познакомиться с очень важными понятиями: суммы и произведения событий.

Суммой событий A и B называют событие C=A+B, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 1:Событие A – поражение цели при первом выстреле, событие B - поражение цели при втором выстреле.

Тогда суммой событий A+B будет поражение цели вообще (либо при первом выстреле, либо при втором, либо при первом и втором выстрелах).

Если события A и B совместны (пример 1), то сумма событий C=A+B сводится к появлению или события A, или события B, или и A, и B.

Если события A и B несовместны, то появление их вместе отпадает, а поэтому их сумма сводится к появлению или события A, или события B.

Например, при бросании монеты события: появление герба, появление цифры несовместны, поэтому сумма их сводится к появлению только одного из них.

Произведением A и B называют событие C=AB, которое состоит в совместном появлении событий A и B.

Пример 2:Если событие A – попадание в «десятку» при первом выстреле, событие B – попадание в «десятку» при втором выстреле и событие C – попадание в «десятку» при третьем выстреле, то произведение D=ABC – попадание в «десятку» при всех выстрелах.

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций элементарных событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения.

В условиях примера 2, события - непопадание в «десятку» при первом, втором и третьем выстрелах соответственно.

Составим сложное событие G, состоящее в том, что в результате трех выстрелов «десятка» будет поражена ровно один раз. Это событие может быть представлено в виде