Теорема гипотез (формула Байеса)

Постановка задачи. Пусть событие A может произойти только совместно с одним из следующих событий: которые являются несовместными между собой и составляют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Провели испытание, и событие A произошло. Какая из гипотез вероятнее всего реализовалась?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо определить условную вероятность гипотезы где i – 1,2,…,n.

Согласно теореме умножения вероятностей

. Откуда условная вероятность гипотезы будет равна

, где P(A) – полная вероятность.

В общем случае формула Байеса запишется в виде

,

где - вероятность гипотезы после испытания, давшего событие A;

- вероятность гипотезы до испытания.

Формула Байеса применяется при решении практических задач, когда событие A произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий .

Априорные (до опыта) вероятности известны, и требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности .

Пример 2: Неисправность в первом блоке передатчика влечет понижение выходной мощности с вероятностью 0,6, а неисправность во втором блоке - с вероятностью 0,2. Надежность работы первого (второго) блока характеризуется вероятностью 0,7 (0,3).

Какой из блоков необходимо проверить на исправность в первую очередь, если зафиксировано падение выходной мощности?

Решение.

Для ответа на этот вопрос необходимо вычислить условные вероятности гипотез: , ,

где A – событие падения выходной мощности;

- событие неисправности в первом блоке;

- событие неисправности во втором блоке.

Из условия задачи априорные вероятности гипотез будут равны

а условные вероятности события A - .

Тогда апостериорные вероятности определяются по формуле Байеса, т.е.

,

.

Вывод: в первую очередь необходимо проверить первый блок передатчика, так как больше, чем .