Волновые уравнения для электродинамических потенциалов

Полученные в разделе (3.3) дифференциальные уравнения позволяют в принципе определить векторы напряженности электрического и магнитного поля через функции объемных плотностей сторонних токов и сторонних зарядов. Однако наличие в их правых частях выражений grad ρ^ст и rot j^ст затрудняет получение удобных расчетных формул. Поэтому, как правило, эти уравнения используют в тех случаях, когда сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой области, т.е. когда волновые уравнения становятся однородными.

В общем случае для определения векторов поля по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а потом через них вычисляют векторы E и H. Эти вспомогательные функции можно ввести различным образом в зависимости от особенностей решаемой задачи. Для упрощения решения многих задач вводят так называемые электродинамические потенциалы. Из четвертого уравнения Максвелла следует, что ( ). Так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю (div rot a = 0) то можно утверждать, что , где A_m – комплексная амплитуда некоторого вектора. Представим вектор в виде

При известном векторе А_m это уравнение позволяет однозначно найти вектор H_m.

Волновое уравнение для векторного потенциала:

.

Векторный и скалярный потенциал связаны соотношением ,

которое обычно называют условием калибровки Лоренца

Волновое уравнение для скалярного потенциала:

.