Уравнение Бесселя и цилиндрические функции

При рассмотрении электромагнитных полей в областях с симметрией кругового цилиндра встречается обыкновенное дифференциальное уравнение вида

,

которое называется уравнением цилиндрических функций, или уравнением Бесселя n-го порядка. Приведем некоторые сведения о его решениях – цилиндрических функциях.

Тригонометрические и экспоненциальные функции являются решениями дифференциального уравнения

,

которое при некоторых ограничениях можно рассматривать как предельную форму уравнения Бесселя при x → ∞. Сходство этих уравнений помогает понять роль цилиндрических функций в разных задачах, а также их взаимные соотношения. Частным решениям второго уравнения cos x, sin x соответствуют следующие частные решения уравнения Бесселя:

J_n(x) – функция Бесселя n–го порядка,

N_n(x)– функция Неймана n –го порядка.

Точно так же частным решениям e^ix, e^-ix соответствуют частные решения уравнения частные решения уравнения Бесселя:

H⁽¹⁾_n(x) – функция Ханкеля 1-го рода n–го порядка,

H⁽²⁾_n(x)– функция Неймана 2-го рода n –го порядка.

На рис. 8.1 приведены графики некоторых из цилиндрических функций. Подобно тому, как e^ix=cosx+isinx и e^–ix=cosx–isinx, имеют место соотношения

H⁽¹⁾_n(x)= J_n(x) + iN_n(x),

H⁽²⁾_n(x)= J_n(x) – iN_n(x).

Цилиндрические функции не являются периодическим (как, например, тригонометрические функции вещественного аргумента), однако это «осциллирующие», колеблющиеся функции. Функции J_n(x) и N_n(x) с возрастанием положительного x принимают значения, колеблющиеся около нуля с монотонно убывающей амплитудой. Их графики создают впечатление деформированных тригонометрических кривых. Полезно помнить, что

J₀(0) = 1, J_n(0) = 0, n ≠ 0

и

Подобно общим решениям y = A cos x + B sin x и y = Pe^–ix + Q e^ix имеются общие уравнения Бесселя в виде:

y = AJ_n(x) + BN_n(x)

y = PH_n⁽²⁾(x) + QH_n⁽¹⁾(x).

Обычно требуется, чтобы решение задачи удовлетворяло условию ограниченности ‌‌ y ‌ <∞. Соответственно этому, если в рассмотрение входит точка x = 0, то общее решение уравнения Бесселя имеет вид:

y = AJ_n(x).

Действительно единственная возможность получения ограниченного решения на отрезке, включающем нуль, состоит в том, что неопределенный коэффициент B полагается равным нулю.

Асимптотические представления. При неограниченно возрастающем аргументе J_n(x) и N_n(x) переходят в тригонометрические функции, а H_n⁽²⁾(x) и H_n⁽¹⁾(x) – экспоненциальные

, , , .

Употребленный здесь символ 0(...) означает величину, убывающую при x → ∞ как функция, заключенная в скобки (в данном случае 1/x^3/2).

Степенные ряды; представления функций малого аргумента. Функции Бесселя представляются степенными рядами вида:

.

В частности (учитывая, что 0! = 1),

.

Поэтому при ‌‌ x ‌‌ << 1

.

В частности,

.

Ввиду громоздкости ряд для функций Неймана мы не приводим. При ‌‌ x ‌‌ << 1 эти функции представляются в виде:

и , (γ = 1,781...)

.

Функциональные соотношения. Запишем ряд употребительных формул, используя символ Z_n(x) для обозначения произвольной цилиндрической функции (формулы верны при подстановке в качестве Z_n(x) функций Бесселя, Неймана и Ханкеля)

Для натурального n

Z_–n = (–1)ⁿZ_n(x).

В частности,

Z_–1(x) = –Z₁(x).

При дифференцировании цилиндрических функций пользуются соотношениями:

и

а также

Для n = 0 и n = 1 получаем:

Таблицы корней. Корни уравнения

J_n(x) = 0

это значения аргумента функции J_n(x), при которых она обращается в нуль. Эти числа используются при анализе электромагнитного поля. Обозначая их B_nm, приведем следующую таблицу:

Таблица 3.1

(n – порядок функции, m – номер корня)

Точно так же важны корни производной функции Бесселя

J_n' (x) = 0

которые обозначены A_nm и сведены в таблицу:

Таблица 3.2

(n – порядок функции, m – номер корня)