Правила образования языка в алфавите (синтаксис языка).

Для описания правил введем понятие метасимвол. Метасимвол – это не принадлежащее языку обозначение, которое позволяет вводить понятия и свойства этого языка, а также указать порядок, в котором должны применяться правила языка.

Введем 4 метасимвола для иллюстрации заданных правил примерами:

1) x 2) y 3) ( 4) ) . Метасимволы x и y будут служить для обозначения формул, а скобки ( и ) – для указания порядка применения правил.

Правила образования языка в алфавите следующие:

Базисное правило: всякое высказывание есть формула.

Правило индукционного шага: если x и y – формулы, то - тоже формулы.

Правило ограничения: формулы могут образовываться только по правилам 1 и 2 .

Других правил нет.

Как же метасимволы скобок указывают на порядок применения правил? Рассмотрим пример.

Пусть, х (p/\(q\/r)). При построении формулы х правило индукционного шага применялось дважды: первый раз – при построении формулы (q\/r) из формулы q и r, а второй – при построении заключительной формулы из формул p и (q\/r). Указанные правила образования языка в алфавите используются для представления составных сколь угодно сложных высказываний.

Формулы языка делятся на атомы или атомарные формулы и формулы (без эпитетов), к которым относятся все составные формулы, т.е. формулы, образованные с помощью связок, а атомы – это неделимые (исходные) высказывания.

3.2.3. Правила присвоения истинностных значений формулам

(семантика языка)

По определению атом может иметь только два значения: либо ‘‘истина‘‘ (И) либо ‘‘ложь‘‘ (Л). Каждое из этих значений называют истинностным. Правила присвоения истинностных значений формулам 5-ти связок представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

x	y	x	x Ù y	x Ú y	x É y	x º y
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	И

Введем ряд новых понятий, которые понадобятся при рассмотрении следующих аспектов исчисления высказываний.

1) «Интерпретировать формулу» - приписать ей одно из двухзначений истинности И или Л.

2) «интерпретация для формулы» - это набор истинностных значений всех атомов, входящих в формулу, предназначенный для одновременной замены ими самих атомов в этой формуле. Формула, содержащая К различных высказываний, допускает 2^к интерпретаций.

Проиллюстрируем эти два понятия на примерах интерпретации некоторых формул (табл. 3.3):

Таблица 3.3

x y z	y É z	x É(yÉz)	x Ù y	(x Ù y)Éz	w	w
И И И	Л	И	И	И	И	Л
И И Л	Л	Л	И	Л	И	Л
И Л И	И	И	Л	И	И	Л
И Л Л	И	И	Л	И	И	Л
Л И И	И	И	Л	И	И	Л
Л И Л	Л	И	Л	И	И	Л
Л Л И	И	И	Л	И	И	Л
Л Л Л	И	И	Л	И	И	Л

Первые три столбца каждой строки являются одной из возможных интерпретаций.

3) семантика языка -это полный набор правил интерпретации формул. Это вся таблица 3.2.

4) «Общезначимость формулы» -это истинность формулы при всех возможных её интерпретациях. ( w в табл. 3.3)

5) «противоречивость формулы» (невыполнимость) - это ложность формулы при всех возможных её интерпретациях ( w в табл.3.3)

6) «эквивалентность формул» - формулы x и y эквивалентны, когда истинностные значения x и y совпадают при каждой общей интерпретации для x и.

7) «Литера» -это атом или его отрицание.

8) «дизъюнкция формул» - это формула X , образованная из исходных формул F₁,F₂,...,F_n с помощью дизъюнктивной (и только) связки:

X = F₁ F₂ ,... F_n.

9) «Конъюнкция формул»-это формула Y, образованная из исходных формул F₁,F₂,...,F_n с помощью конъюнктивной (и только) связки:

Y = F₁ F₂ ,... F_n.

10) «Дизъюнкт»- это формула Z, образованная из исходных литер (и только литер) с помощью дизъюнктивной (и только) связки:

Z = A₁ A₂ A₃ ,... A_n.

Эквивалентом дизъюнкта является множество входящих в него литер:

Z = A₁ A₂ ,... A_m {A₁ , A₂ ,..., A_m}

11) «R - литерный дизъюнкт» - это дизъюнкт, в котором Rлитер.

12) «Единичный дизъюнкт» - это дизъюнкт с одной литерой.

13) «Пустой дизъюнкт»- это дизъюнкт, в котором нет литер. Т.к. он не содержит литер, которые могли бы быть истинными при некоторой интерпретации, он всегда ложен

14) «Область действия логических связок» - при бесскобочной записи эта область упорядочена по убыванию и соответствует последовательности º , É , Ù , Ú , .

15) Дизъюнктивная нормальная форма» - это формула

F= F₁ F₂ ,... F_n , где F_i - конъюнкция литер.

16) Конъюнктивная нормальная форма» -

F=F₁ F₂ ,... F_{n ,} где F_i - дизъюнкция литер.

17) «Выполнимая формула» - формула выполнима тогда и только тогда, когда существует, по крайней мере, одна интерпретация, при которой эта формула истинна. Эта интерпретация называется моделью формулы.

18) «Контрарная пара формул» - это множество { A , A}

19) «Тавтология» - общезначимая формула, истинная во всехеё интерпретациях. Дизъюнкт, содержащий контрарную пару, является тавтологией.

20) «Приведенная КНФ»- это КНФ, из которой удалены тавтологии и повторения литер в пределах одного итого же дизъюнкта. Вернуться

3.2.4. Правила вывода в исчислении высказываний(стереотипы