Математическая логика как средство рассуждения и анализа

Знаний.

Введение.

Рассуждение – это цепочка взаимосвязанных умозаключений. В зависимости от характера взаимосвязи рассуждение бывает индуктивным или дедуктивным. Если взаимосвязь умозаключений построена на индукции, то рассуждение индуктивное.

Индукция – это умозаключение от конкретных фактов к некоторой гипотезе, т.е. к утверждению обобщающих абстракций, типичных для всех вместе и каждого в отдельности факта, предусматривающее одновременное обсуждение критериев для оправдания достоверности гипотезы.

Пример[12]. Построим графики уравнений с двумя переменными, например, х-2y+4=0 и 2х+y-5=0. Убедившись в том, что графики этих уравнений в декартовой системе координат представляют собой прямые линии, мы на основании индукции можем заключить, что графикам всякого уравнения вида ax+by+c+0 в той же системе координат будет прямая. Этот вывод верный. Но чтобы окончательно убедиться в его достоверности, необходимо или перебрать все возможные координаты x и y в сочетании со всеми возможными значениями коэффициентов, что нереально, или придумать какой-нибудь более остроумный и эффективный метод доказательства. Поиск эффективных методов доказательства достоверности рассуждения является обязательным разделом в структуре теории любой математической логики.

При дедуктивном рассуждении, которое иначе называется исчислением, во-первых, взаимосвязь умозаключений основана на дедукции, во- вторых, звенья цепи умозаключений дополнительно связаны отношением логического следования.

Дедукция (вывод) - это умозаключение от обобщающих абстракций к фактам или к новым абстракциям меньшего масштаба. Началом (посылками) дедукции является некоторая совокупность обобщающих абстракций, а концом (заключением) – цель рассуждения, которое представляется как вопрос-факт или вопрос-абстракция минимального масштаба.

Пример 1. Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен (заключение).

Пример 2. Всякое натуральное число, сумма цифр которого делится на три, само делится на три. Сумма цифр числа 4635 делится на три. Следовательно, число 4635 делится на три.

Как и в случае индуктивного рассуждения, здесь также для того, чтобы убедиться в достоверности рассуждения, необходимо проверить, т.е. доказать, что сумма цифр числа 4635 делится на три. Это простой случай доказательства, однако, оно необходимо в любом дедуктивном рассуждении. В этом примере не подвергается сомнениям первая исходная посылка, истинность которой доказана в теории чисел.

Пример3. Графиком уравнения вида ax+by+c=0 в прямоугольной декартовой системе координат является прямая линия. Графиком by+c=0 является прямая линия параллельная оси х. Следовательно, графиком прямой линии, параллельной оси y является уравнение ax+c=0.

Сущность отношения логического следования заключается в том, что истинность заключения следует только из одновременной истинности всех и только всех посылок при всех возможных вариантах замены абстракций фактами. Но так как количество посылок N может быть большим (во всяком случае, больше десяти), а каждая из посылок является обобщающей абстракцией, истинность которой можно прояснить только после замены её конкретным фактом, возможное количество (Р) которых превышает число десять, а иногда достигает сотен тысяч, то выяснить одновременную истинность всех посылок при всех возможных вариантах замены посылок фактами становится практически невозможно. Доказано, что эта задача имеет вычислительную трудоёмкость NP-полной задачи. В связи с этим дедуктивное рассуждение всегда дополняется формальными так называемыми правилами вывода, которые позволяют путем последовательного их применения к самой дедукции шаг за шагом упрощать её без нарушения отношения логического следования, доводя в конечном итоге, до очевидной схемы, истинность которой установить не составляет труда. Эти правила называют инструментарием анализа достоверности рассуждений.

В интеллектуальной деятельности человека различают логическое и аналитическое мышление. Логическое мышление– это владение индуктивным и дедуктивным рассуждением. Аналитическое мышление это умение:

1) абстрагировать наблюдаемые в реальном мире явления, процессы, объекты;

2) устанавливать причинно-следственные отношения между отражаемыми объектами, процессами, явлениями, их свойствами и характеристиками;

3) структурировать сложные процессы с целью их познания на основе системного подхода;

4) определять критерии для сопоставления отражаемых объектов, процессов, явлений их свойств и характеристик;

5) сопоставлять объекты, процессы, явления, их свойства и характеристики на основе заданных критериев;

6) определять и абстрагировать операционную среду, в которой функционируют объекты, явления, процессы;

7) давать количественную оценку качеству функционирования прооцессов, объектов и систем объектов;

8) математически моделировать отражаемые процессы, явления, объекты и их системы.

Каждая из функций аналитического мышления может быть легко реализована путем логического мышления, т.е. логическое мышление может быть использовано в качестве модели аналитического мышления.

По определению искусственный интеллект моделирует логическое и аналитическое мышление. Логическое мышление, в свою очередь, моделирует аналитическое мышление. Следовательно, логическое мышление представляет собой универсальную модель искусственного интеллекта.

2.5.2. Математическая логика и её связь с логическим мышле-

Нием.

Математическая логика - это функционально-полный набор формальных инструментальных средств, предназначенных для моделирования и реализации индуктивных и дедуктивных рассуждений[6,11]. Эти средства включают (см. рис.2.9):

1) формальные языки логики, предназначенные для постановки интеллектуальных задач и представления (моделирования) знаний в аксиоматических теориях любых предметных областей;

2) математические структуры для представления (моделирования) систем знаний, эквивалентных преобразований систем знаний, манипулирования знаниями и формулирования новых знаний;

3) формальные правила вывода и алгоритмы как инструментарий для обоснования достоверности рассуждений, т.е. доказательства истинности заключения в рассуждении.

Рис. 2.9. Составные части математической логики.

В основаниях классической математики известно несколько логических систем, но в качестве фундамента математической логики обоснованно принята одна из них – логика первого порядка, имеющая еще и другие названия – логика предикатов, исчисление предикатов. Поэтому для овладения основами искусственного интеллекта необходимо глубокое изучение теоретических основ логики предикатов, которые изложены в следующем разделе пособия. Основное преимущество использования логики предикатов для представления знаний заключается в том, что обладающий хорошо понятными математическими свойствами мощный механизм вывода может быть непосредственно запрограммирован. Кроме этого, надо еще знать, чем дополняют другие логические системы логику предикатов и в каких ситуациях следует прибегать к их помощи. Следует также знать о графических представлениях логики предикатов – семантических сетях и сетях фреймов, в частности об их преимуществах и недостатках в сопоставлении с логикой предикатов. Вернуться