Основные типы задач и методы их решения. 1. Определение емкости уединенного проводника, емкости конденсатора и "батареи" конденсаторов.
а) Классификация
1. Определение емкости уединенного проводника, емкости конденсатора и "батареи" конденсаторов.
Метод решения. Использование соотношений, определяющих емкость уединенного проводника и конденсатора. При этом первоначально определяется с использованием теоремы Гаусса напряженность поля уединенного проводника или конденсатора, при сообщении им некоторого заряда , а затем путем интегрирования выражения находится приобретаемая разность потенциалов.
Для определения емкости "батареи" конденсаторов используются закон сохранения заряда и формула электроемкости конденсатора.
2. Определение энергии взаимодействия точечных зарядов, энергии заряженного проводника и конденсатора, энергии поля, локализованного в заданном объеме.
Метод решения. Использование формул для энергии взаимодействия точечных зарядов, энергии заряженного конденсатора.
Интегрирование выражения для объемной плотности энергии электрического поля:
.
3. Определение работы при раздвижении пластин конденсатора.
Метод решения.
1) Использование уравнения энергетического баланса при внешнем воздействии на конденсаторы. Работа внешних сил идет на приращение электрической энергии.
2) Непосредственное интегрирование выражения
.
б) Примеры решения задач
1. Найти емкость шарового проводника радиусом , окруженного примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с наружным радиусом и проницаемостью .
Решение.
Для нахождения емкости проводника по формуле надо мысленно зарядить данный проводник зарядом и вычислить его потенциал . С этой целью, воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора , найдем , после чего, с учетом соотношения , получим
для ;
для .
Зная зависимость можно непосредственно приступить к нахождению потенциала шара. В. силу различной зависимости интеграл разбивается на два:
;
.
Окончательно
.
2. Вычислить энергию взаимодействия четырех одинаковых точечных зарядов q, расположенных в вершинах квадрата со стороной а.
Решение.
Воспользуемся формулой
.
В данном случае , , где -потенциал в месте нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех остальных зарядов.
В соответствии с формулой для потенциала, точечного заряда и принципа суперпозиции найдем
.
Окончательно .
3. Заряд распределен равномерно по объему шара радиусом . Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти собственную электрическую энергию шара и отношение энергии , локализованной внутри шара, к энергии в окружающем пространстве.
Решение.
Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса напряженность поле внутри и вне шара
;
.
Объемная плотность энергии будет также являться функцией расстояния:
;
.
Поскольку зависимость различна для областей пространства внутри и вне шара, то нахождение полной энергии электрического поля разбивается на два интеграла
где - объем пространства, занимаемый зарядом;
- объем остального пространства.
Объем следует выбрать в виде тонкого шарового слоя толщиной (в пределах такого объема и постоянны):
.
Подставляя выражения для и и проводя интегрирование, получаем .
Аналогично найдем, что т.е не зависит от радиуса шара.
4. Плоский воздушный конденсатор (S=200 , d1=0,3см) заряжен до разности потенциалов = 600 В. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками до =0,5см, не отключая конденсатор от источника.
Решение.
Первый способ.
Конденсатор соединен с источником, поэтому при любых манипуляциях разность потенциалов на его зажимах остается постоянной и равной , при этом заряд может изменяться. При раздвижении пластин внешняя сила равна и противоположна силе взаимодействия и ее работа
.
Поскольку поле, создаваемое каждой из пластин, на небольших расстояниях однородно, то
,
где - напряженность поля, создаваемого одной из пластин; - абсолютное значение заряда пластин. Напряженность поля, созданного одной пластиной, вдвое меньше напряженности между обкладками конденсатора и равна
.
Подставляя найденные соотношения в выражение для силы, получаем
.
При раздвижении обкладок изменяется в пределах от до , тогда
.
Второй способ.
В соответствии с уравнением энергетического баланса
,
где - изменение энергии конденсатора; - работа, совершаемая источником.
Так как изменение заряда конденсатора
, откуда .
Изменение энергии конденсатора найдем по формуле
.
где и - соответственно конечная и начальная емкости конденсатора.
Из уравнения энергетического баланса с учетом того, что , Окончательно получим
.
Дата добавления: 2016-03-22; просмотров: 965;