Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

1. Расчет электростатических полей в диэлектрических средах. Определение напряженности, индукции и потенциала электростатического поля внутри однородного, изотропного диэлектрика.

Метод решения. Использование теоремы Гаусса для вектора и соотношения, связывающего между собой и . Воспользоваться аналогичной теоремой для поля не представляется возможным, поскольку не известен связанный заряд.

2. Нахождение напряженности и индукции поля на границе раздела двух сред.

Метод решения. Использование соотношений между нормальными и тангенциальными составляющими векторов и на границе раздела двух сред.

б) Примеры решения задач

1. Точечный заряд находится в центре шара радиусом из однородного изотропного диэлектрика проницаемостью . Найти напряженность поля как функцию расстояния от центра шара. Представить графики зависимостей и .

Решение.

В любой точке поля векторы и направлены радиально. Поток вектора через сферическую поверхность радиусом

.

По теореме Гаусса: , откуда .

Так как , то

1) для < , .

2) для > , .

Графики зависимостей и имеют следующий вид:

2. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью заряжена равномерно сторонним зарядом с объем­ной плотностью >0. Толщина пластины 2а. Найти и как функции расстояния от середины пластины (потенциал в сере дине пластины положить равным нулю). Определить поверхностную плотность связанного заряда.

Решение.

Из соображений симметрии ясно, что в середине пластины , а во всех остальных точках век­тор перпендикулярен поверх­ности пластины. Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора . В качестве замкнутой поверхности возьмем прямой цилиндр высотой , один торец которого совпадает со средней плоскостью пластины. Пусть площадь сечения этого цилиндра равна , тогда

1) для : , , ;

2) для : , , .

Используя выражение , получаем

1) для

; и ;

2) для

; .

Графики функции и представлены на рисунке.

Поверхностную плотность связанного заряда определим из выражения

’= / >0.

Таким образом, если сторонний заряд > 0, то на обеих по­верхностях пластины будет также положительный связанный заряд.

3. Вблизи границы раздела вакуум - диэлектрик напряженность электрического поля в вакууме равна , причем вектор со­ставляет угол с нормалью к поверхности раздела. Проницаемость диэлектрика . Найти отношение , где напряженность поля внутри диэлектрика.

Решение.

Напряженность поля внутри диэлектрика

.

Воспользовавшись условиями на границе раздела диэлектрика, найдем

; , откуда

< 1, т.е .