Основные типы задач и методы их решения. 1. Определение напряженности и потенциала заданного распределения точечных зарядов.
а) Классификация
1. Определение напряженности и потенциала заданного распределения точечных зарядов.
Метод решения. Прямое суммирование выражений для потенциала и напряженности электростатического поля каждого заряда из заданного распределения точечных зарядов:
;
2.Определение потенциала и напряженности электростатического поля заданного непрерывного распределения линейных, поверхностных или объемных зарядов.
Метод решения. Интегрирование выражений для потенциала и напряженности поля заданного непрерывного распределения заряда:
; ,
где , или .
3. Определение напряженности электростатического поля и потенциала заданного непрерывного распределения зарядов, обладающих плоской, осевой или центральной симметрией.
Метод решения. Применение теоремы Гаусса и формулы, связывающей напряженность поля и потенциал:
; .
б) Примеры решения задач
I. В вершинах квадрата со стороной находятся точечные заряды Определить напряженность электростатического поля и потенциал в центре квадрата. Рассмотреть случаи, когда:
а) ;
б) ;
в) .
Решение.
Напряженность поля и потенциал системы точечных зарядов определяются соотношениями
;
Учитывая, что :
, ,
, ,
получаем ,
,
, ;
а) если , то
, ;
б) если , то
, , ;
в) если ; , то
, , .
2. Положительный заряд равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом с линейной плотностью . Найти напряженность электрического поля на оси кольца как функцию расстояния x от его центра. Исследовать случаи:
а) , б) .
Решение.
Выделим на кольце около точки А элемент . Выражение для от этого элемента в точке С:
.
В силу симметрии вектор направлен по оси x, следовательно,
.
Учитывая, что и ,
получаем .
а) Если , то б) если >>a, то ,
т.е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.
3. Тонкая прямая нить длиной 2 заряжена равномерно с линейной плотностью . Найти напряженность поля в точке, отстоящей на расстоянии x от центра нити и расположенной симметрично относительно ее концов. Исследовать случаи: a) x>> ; б) .
Решение.
Напряженность поля, создаваемого элементом , равна
.
Из соображений симметрии ясно, что
.
Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. Из рисунка видно, что
;
Поэтому ,
где .
Окончательно имеем
.
а) Если х>> , то как поле точечного заряда; б) Если , то .
4. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью >0. Найти напряженность электрического поля на оси этого диска в точке, из которой диск виден под телесным углом .
Решение.
Из соображений симметрии ясно, что вектор на оси диска должен совпадать с направлением этой оси. Поэтому достаточно найти составляющую в точке А от элемента заряда на площади и затем проинтегрировать это выражение по всей поверхности диска:
.
В данном случае - телесный угол, под которым площадка видна из точки А, и с учетом этого
; .
Заметим, что на больших расстояниях от диска
,
где - площадь диска. Тогда как поле точечного заряда .
В непосредственной же близости от точки 0 телесный угол и .
5. Две концентрические сферы с радиусами и ( > ) равномерно заряжены с поверхностными плотностями и . Найти выражение для напряженности и потенциала электростатического поля как функции расстояния от центра сфер.
Решение.
Поле такой системы центрально-симметричное, поэтому используем теорему Гаусса и в качестве замкнутой поверхности выберем концентрическую сферу радиусом .
Для < : и .
Для < < : и .
Для > : .
и .
Для определения потенциала используем связь между и в сферических координатах:
и .
Для > : , ,
.
Для < <
,
; .
Для < 1: .
Дата добавления: 2016-03-22; просмотров: 2250;