Тема 13. Линейное программирование.

Задание 1. Формулировка модели линейного программирования (ЛИ}.

Компания «СмайКо» занимается производством учебных досок двух видов и поставляет их в магазины офисных принадлежностей. К первому виду относятся доски с гладкой белой поверхностью, на которой можно писать фломастером и затем стирать написанное. Ко второму виду относятся доски из пробкового дерева, к которым можно прикалывать кнопками листы бумаги.

Доски обоих видов проходят через два производственных цеха. Все исходные материалы — ножки для досок, обшивка и алюминиевые рамки — обрезаются до нужных размеров в цехе резки. Оба вида имеют одинаковые размеры и одинаковые алюминиевые рамки. Сборка досок происходит в одном из двух сборочных цехов компании «СмайКо» - либо в цехе автоматизированной сборки, либо в цехе ручной сборки. Процесс автоматизированной сборки является капиталоемкой операцией. Этот цех действует уже 18 месяцев, и первоначально предполагалось, что он полностью заменит цех ручной сборки. Однако, хозяйственная деятельность «СмайКо» расширяется настолько быстро, что потребовалось использовать оба цеха. Конечный результат сборочных операций в обоих цехах одинаковый. Единственной разницей является то, что в этих цехах разное пропорциональное соотношение машино-часов и времени ручного труда, что означает разные затраты. Однако рабочие обучены операциям в обоих цехах и их можно переводить из одного цеха в другой. Данные, относящиеся к двум продуктам и их производству, указаны в следующих таблицах.

ПЕРЕМЕННЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ НА ЕДИНИЦУ

В прошлом году «СмайКо» произвела и продала 600 000 досок для фломастеров и 900 000 досок из пробкового дерева. По оценкам руководства общий объем продаж в предстоящем году может увеличиться на 20%, если удастся произвести столько продукции. «СмайКо» имеет контракты на производство и продажу 30 000 досок каждого вида каждый месяц.

Продажа, производство и затраты равномерны в течение года. Максимальная ежемесячная производительность в «СмайКо» составляет 30 000 часов основного труда в цехе резки и 40 000 часов основного труда в операции по сборке (в цехе автоматизированной сборки и цехе ручной сборки, взятых вместе).

Требуется:

1. Руководство компании «СмайКо» считает, что можно было бы использовать линейное программирование
для определения оптимального соотношения досок для фломастеров и досок из пробкового дерева,
которые следует производить и продавать. Объясните почему «СмайКо» может использовать линейное
программирование.

2. «СмайКо» планирует воспользоваться линейным программированием для определения оптимального
соотношения в производстве досок для фломастеров и досок из пробкового дерева. Сформулируйте и
обозначьте (а) целевую функцию и (Ъ) функции ограничений.

Задание 2. Задача по формулировке линейного программирования, допущения модели линейного программирования,

Компания «Трипро» занимается производством и продажей трех продуктов, далее называемых продуктами А, В и С. В настоящее время компания меняет свой подход в краткосрочном планировании, чтобы задействовать более современные методы планирования. Финансовый директор и несколько его подчиненных обсуждали с консультантом вопрос о возможности использования модели линейного программирования для определения оптимального соотношения продуктов.

Информация для краткосрочного планирования была подготовлена в таком же формате, как и в прошлые годы. Эта информация включает ожидаемые продажные цены и ожидаемые затраты на оплату основного труда и материалы по каждому продукту. Также предполагается, что переменные накладные и постоянные накладные расходы будут одинаковыми для каждого продукта, потому, что производилось и продавалось примерно равное количество продуктов.

Для всех трех продуктов используется один вид основного материала, который стоит 1.50 у.е. за килограмм. Основной труд оплачивается по ставке 5.00 у.е. в час. В месяц имеется в распоряжении 2 000 часов основного труда и 20 000 кг основных материалов.

Требуется:

1. Сформулируйте и обозначьте целевую функцию и функции ограничений в линейном программировании,
необходимые для максимального маржинального дохода компании «Трипро». Используйте qa , qb , Qc
для обозначения единиц продукции трех видов.

2. Каким основным условиям необходимо удовлетворять, чтобы обосновать использование линейного
программирования?

Задание 3. Тесты.

Компания занимается сбытом двух продуктов — Альфы и Гаммы. Маржинальный доход на литр продукта Альфа составляет 5 у.е., Гамма — 4 у.е.. Оба продукта состоят из двух ингредиентов — D и К. Альфа состоит на 80% из D и на 20% из К, в то время как пропорция тех же ингредиентов в Гамме - соответственно 40% и 60%. Текущие запасы составляют 16,000 литров D и 6,000 литров К. На единственном предприятии, где производятся D и К, идет забастовка и в обозримом будущем не будет их поставок и производства. Компания хочет знать, сколько литров Альфы и Гаммы следует произвести при наличии текущих запасов сырья, чтобы получить максимальный общий доход. Пусть Xi = 1 единице продукта Альфа, Х2 = 1 единице продукта Гамма, Хз = 1 единице D и Х4 = 1 единице К.

1. Целевую функцию по этой задаче можно выразить как

a. f_mK = 0X^0X2 + 5X3 +5X4

b. f_min = 5Xt+4Х2 + ОХз+ 0X4

c. f_mK=5X_l+4X2 + 0X3 + 0X4

d. f_msa = X_l+X₂ + 5X₃ + 4X₄

e. f_mm = 4X_l + 5X₂+X₃+X₄

2. Ограничение из-за имеющегося в наличии количества D можно выразить как

a. Х!+Х₂>16Ш

b. Х!+Х₂<16Ш

c. 0.4Х! + 0.6Х₂<16000

d. 0.8Х! + 0.4Х₂>16000

e. 0.8Х! + 0.4Х₂<16000

3. Ограничение из-за имеющегося в наличии количества К можно выразить как

a. Х!+Х₂>6Ш

b. Х!+Х₂<6Ш

c. 0.8*1 + 0.2*2 < 6 000

d. ОЯХ₁ + 0.2Х₂ > 6 000

e. 0.2*, + 0.6Х₂ < 6 000

4. Чтобы иметь максимальный общий маржинальный доход компания должна производить и продавать

a. Только 106 000 литров Альфы

b. 90 000 литров Альфы и 16 000 литров Гаммы

c. 16 000 литров Альфы и 90 000 литров Гаммы

d. 18 000 литров Альфы и 4 000 литров Гаммы

e. 4 000 литров Альфы и 18 000 литров Гаммы

5. Если предположить, что маржинальный доход на литр Альфы составляет 7 у.е. и на литр Гаммы - 9 у.е.,

компании следует производить и продавать

a. Только 106 000 литров Альфы

b. 90 000 литров Альфы и 16 000 литров Гаммы

c. 16 000 литров Альфы и 90 000 литров Гаммы

d. 18 000 литров Альфы и 4 000 литров Гаммы

e. 4 000 литров Альфы и 18 000 литров Гаммы

Задание 4. Влияние изменения маржинального дохода, издержки ошибок в прогнозировании.

Мэри Дэмхорн является менеджером компании «Толлман». «Толлман» производит два продукта в двух цехах. Мэри уверена в своих данных по учету затрат, относящихся к основным материалам и основному труду, но у нее нет такой уверенности насчет производственных накладных расходов. Она использовала прогнозное уравнение для суммарных общезаводских накладных расходов, в котором норма переменных общезаводских накладных расходов равна 4 у.е. на час основного труда. Уравнение для общезаводских накладных расходов следующее:

9 000 у.е. в месяц + 4 у.е. на один час основного труда

Мэри собрала следующую информацию о ценах, затратах и технических данных:

Продукт

___________________________________________ X________ Y^

Цена реализации за единицу 114 у.е. 149 у.е.

Приростные затраты по реализации на единицу

проданной продукции 4 у.е. 8 у.е.

Основных материалов на единицу продукции 20 у.е. 30 у.е.

Кол-во часов основного труда на единицу:

Машинный цех 1 час 2 часа

Отделочный цех 4 часа 3 часа

Зарплата составляет 7 у.е. в час в машинном цехе и 9 у.е. в отделочном цехе.

Для определения оптимального соотношения производства продуктов X и Y использовалась модель линейного программирования. Координаты угловых точек области допустимых решений следующие:

Угловая точка X. Y.

1 О О

2 200 400

3 0 500

4 250 О

Требуется:

1. Рассчитайте маржинальный доход отдельно для продуктов X и Y.

2. Определите, какое соотношение продуктов X и Y даст максимальный общий маржинальный доход
компании «Толлман».

3. На следующий день после того, как Мэри приняла окончательное решение о соотношении продуктов X и
Y в производстве (см. задание 2), ей представили безупречный регрессивный анализ производственных
накладных расходов в каждом цехе:

Накладн. расх. в машинном цехе = 6 000 у.е. в месяц

+ 3.00 у.е. на час основного труда в

машинном цехе Накладн. расх. в отделочном цехе = 3 000 у.е. в месяц

+ 5.00 у.е. на час основного труда в

отделочном цехе

Мэри убеждена, что эти модели прогнозирования показывают «более правдивую» или «более точную» картину, чем та модель суммарных общезаводских накладных расходов, которую использовала она. Каковы издержки ошибки в прогнозах из-за использования общезаводской модели в прогнозировании общезаводских переменных накладных расходов по каждому продукту?

Задание 5. План оптимального производства, предприятие по переработке пищевых продуктов, постоянные затраты в сравнении с переменными.

Компания «Колдбрук» производит два вида специального концентрата, получаемого в ходе переработки яблок. Эти два продукта, которые называются «Ароматный» (А) и «Вкусный» (В), используются в качестве ароматизирующих добавок в пищевой промышленности. Благодаря качеству этих продуктов, «Колдбрук» может продавать всю продукцию, которую она в состоянии выпускать, по текущим ценам. Общая информация по двум продуктам следующая:

Продукт АПродукт В

Цена реализации 20 у.е. 35 у.е.

Основные материалы 12.40 у.е. 17 у.е.

Кол-во часов основного труда 0.2 часа 0.5 часа

Кол-во машино-часов 1 час 2 часа

Компания распределяет производственные накладные расходы по ставке 18 у.е. на час основного труда. Компонент постоянных затрат в накладных расходах на час основного труда был рассчитан путем деления ожидаемых постоянных производственных накладных расходов 450 000 у.е. на общее количество часов основного труда (45 000), имеющихся в распоряжении для производства в течение года.

Заводским рабочим платят 10 у.е. за час работы и количество имеющихся в распоряжении машино-часов в год составляет 200 000. Все расходы по реализации и административные расходы являются постоянными, и ожидается, что они составят 300 000 у.е. в следующем году.

Требуется:

1. Определите оптимальное соотношение для производства продукции в следующем году.

2. Предположим, финансовый директор решил, что если использовать двойные ставки, то можно лучше
оценить переменные накладные расходы. Новая функция, используемая для оценки переменных
накладных расходов (ПНР), будет следующая:

ПНР на единицу продукции = 1.00 у.е. х (часы основного труда) + 2.50 у.е. х (машино-часы)

Как может этот метод оценки переменных накладных расходов повлиять на оптимальное соотношение производства продукции в задании 1?

Задание 6. Оптимальное соотношение в сборочном производстве, издержки ошибок в прогнозировании, изменение в техническом ограничении.

Компания «Видео Анлимитед» занимается сборкой и сбытом видеомагнитофонов. На заводе в Брисбане производится сборка стандартной модели и модели «Супер». На сборку стандартной модели требуется два часа в 1-м цехе и один час во 2-м цехе. Для модели «Супер» требуется два часа в 1-м цехе и три часа во 2-м цехе. В обоих цехах действуют линии по производству многих видов продукции. Общее время на сборку, имеющееся в распоряжении в 1-м цехе, составляет 1 200 часов в месяц. Во 2-м цехе имеющееся в распоряжении общее время на сборку равно 900 часам в месяц. Нехватка микрочипов, необходимых для видеомагнитофонов модели «Люкс», ограничивает их производство до 250 штук в месяц.

Маржинальный доход на единицу стандартной модели равен 100 у.е., а на единицу модели «Люкс» -160 у.е. Требуется:

Задание 7. Этические нормы, трансфертное ценообразование.

Подразделение компании «Дурхам Индастриз», находящееся в г. Белмонт производит комплектующее изделие R47, которое переводится в подразделение, расположенное в г. Алстон, по цене, составляющей 200% переменных затрат. Переменные затраты на R47 составляют 14 у.е. на единицу. Джо Ласкер, управленческий бухгалтер подразделения в Белмонте, позвонил своему ассистенту Холу Таннеру. Ласкер сказал: «Я не уверен в разграничении между постоянными и переменными затратами, которое вы делаете. Мне кажется, переменные затраты выше чем 14 у.е. на единицу».

Таннер знает, что если показать более высокие переменные затраты, то и прибыль подразделения в Белмонте окажется выше и это позволит получить более высокие премии для работников подразделения. Однако Таннеру неловко вносить какие-либо изменения потому, что он использовал тот же метод разделения затрат на переменные и постоянные в течение последних нескольких лет. Тем не менее, Таннер осознает, что разница между переменными и постоянными затратами не всегда бывает четкой.

Требуется:

1. Подсчитайте маржинальный доход подразделения в Белмонте от трансферта 10 000 комплектующих
изделий R47 в 2001 году если

(a) переменные затраты составляют 14 у.е. на единицу и

(b) переменные затраты составляют 16 у.е. на единицу.

2. Дайте свою оценку тому, соответствует ли этическим нормам предложение Ласкера касательно
переменных затрат. Не нарушит ли Таннер этические нормы если пересмотрит переменные затраты на единицу? Какие шаги должен предпринять Таннер, чтобы разрешить эту ситуацию?