Апериодическое звено первого порядка

Апериодическим звеном первого порядка называется такое звено, выходная величина которого в функции времени изменяется по экспоненциальному закону. Апериодические звенья называют также инерционным, статическим, релаксационным, одноёмкостным и др.

Инерционное звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка

,

где T – постоянная времени звена (T>0);

– коэффициент передачи (усиления) звена.

К апериодическим звеньям можно отнести: R-L и R-C цепи, генераторы постоянного тока, фильтры, термисторы, механические устройства, имеющие массу и силу трения (без пружин) и другие подобные устройства, в которых возможно накопление какого-либо вида энергии и её рассеивания.

Операторное уравнение апериодического звена

Передаточная функция звена

На структурных схемах графически инерционное звено изображается следующим образом:

Временная характеристика, представляющая реакцию звена на ступенчатое воздействие x_вх(t)=1(t), определяется зависимостью .

Выходная величина в переходном режиме определяется

где вынужденная составляющая выходной величины

Cвободная составляющая выходной величины x_вых(t) определяется из следующего выражения

где P_k – корни характеристического уравнения звена

Tp+1=0,

т.е.

Отсюда

Начальное значение для переходной функции найдется

при t=0,

т.е.

или

Окончательно получаем следующее выражение для переходной функции:

(3.11)

или (3.12)

На рис.3.5,а приведена временная характеристика, представляющая собой экспоненту. Время достижения установившегося значения

при , при .

Весовая функция

представлена на рис.3.5,б.

На структурных и функциональных схемах апериодические звенья условно изображаются следующим образом

Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена

или

где модуль вектора W (jω);

аргумент вектора W (jω).

АФХ представляет собой окружность радиусом с центром в точке 0, лежащей на оси абсцисс на расстоянии от начала координат.

Уравнения вещественной и мнимой характеристик

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) может быть получена путём логарифмирования выражения для A(ω).

В этом выражении слагаемое представляет постоянную величину, не зависящую от частоты. Рассмотрим вторую составляющую ЛАЧХ

.

Полагая, что <<1 , получим .

Если »1 , пренебрегаем единицей и получаем , что соответствует наклону характеристики, равному .

ЛАЧХ апериодического звена может быть получен как сумма , т.е. суммированием ординат этих двух кривых (рис.3.8). Следовательно, приближённая ЛАЧХ состоит из двух асимптот. Первая представляет прямую, параллельную оси абсцисс и отстоит от неё на расстоянии Вторая наклонена к оси абсцисс с наклоном . Сопряжение горизонтальной и наклонной прямой производится в точке, соответствующей частоте сопряжения . Частота, при которой L(ω) пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Приближённая ЛАЧХ называется асимптотической. Такое название связано с тем, что эта характеристика составлена из двух асимптот, к которым стремится ЛАЧХ при ω→ 0 и ω→ ∞.

При

Т.о., максимальное расхождение между истинной и асимптотической ЛАЧХ равно всего 3дб. Поэтому при практических построениях ЛАЧХ статических звеньев первого порядка используют обычно асимптотические ЛАЧХ.

Если частотные характеристики получены экспериментально, по ним нетрудно определить параметры звена T и k, пользуясь описанной выше зависимостью между этими характеристиками и передаточной функцией.

На примере этого звена явно видно, что величина полосы пропускания звеном частот, т.е. ширина частотной характеристики, является мерой быстродействия звена. Полоса пропускания частот обычно определяется диапазоном частот от , на декаду меньшей минимальной частоты сопряжения, до , на декаду большей максимальной частоты сопряжения. Чем больше этот диапазон частот, тем короче его переходная характеристика, т.е. меньше инерционность звена.