III.1.4. Дифференцирующее звено

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья.

Идеальное дифференцирующее звено характеризуется уравнением

,

или в операторной форме

. (III.1.8)

Примерами такого звена могут служить электрическая емкость (рис. III.17 а), индуктивность (б), тахогенератор (в).

Рис. III. 17. Примеры идеальных дифференцирующих

звеньев.

В самом деле, уравнения для тока в емкости

,

напряжения на индуктивности

,

и напряжения на зажимах тахогенератора постоянного тока

,

совпадают по форме с уравнением идеального дифференцирующего звена.

Из уравнения (III.1.8) получается передаточная функция идеального дифференцирующего звена

и, соответственно, частотная передаточная функция

.

Для нахождения переходной характеристики идеального дифференцирующего звена воспользуемся соотношением

,

а весовая функция звена может быть получена следующим образом

.

При известной частотной передаточной функции W(jω) АЧХ и ФЧХ звена легко находятся

.

На рис. III.18 построены эти зависимости. На этом же рисунке, по значениям A(ω) и φ(ω) получена АФХ звена W(jω), которая проходит по положительной полуоси ординат. Это обусловлено тем обстоятельством, что для любой частоты 0 ≤ < ∞ фазовый угол φ( ) одинаков и равен .

Рис. III. 18. АЧХ , ФЧХ и АФХ идеального

дифференцирующего звена.

Выражение для точной ЛАЧХ

представляет собой прямую с наклоном +20 и ее не надо заменять асимптотой. Из того факта, что L( ) при некоторой частоте = _ср пересекает ось абсцисс, т.е. становится равной нулю, найдем

или

;

.

ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена приведена на рис. III. 19.

Рис. III. 19. ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена.

Однако практически осуществить идеальное дифференцирующее звено, строго удовлетворяющее уравнению (III.1.8), не представляется возможным. Поэтому применяются звенья, выполняющие дифференцирующее действие более или менее приближенно. Такие звенья называются реальными дифференцирующими звеньями. Процессы в таких звеньях описываются дифференциальным уравнением вида

,

или в Лапласовой форме

. (III.1.9)

Примерами таких звеньев могут служить, например, четырехполюсники (рис. III.20).

Рис. III. 20. Примеры реальных дифференцирующих звеньев.

Из уравнения (III.1.9) найдется передаточная функция звена

. (III.1.10)

Переходную характеристику звена h(t) можно, как уже указывалось, определить по формуле

.

Весовую функцию звена найдем, исходя из выражения

.

Поскольку h(t) – сложная функция, содержащая два сомножителя, зависящих от t , то

.

Так как первое слагаемое этого выражения равно нулю при t ≠ 0, ибо δ(t) = 0 при t ≠ 0, то сомножитель имеет смысл рассматривать при

t = 0, а в этом случае , и окончательно выражение для w(t) имеет вид

.

Таким образом, получается, что весовая функция реального дифференцирующего звена w(t) состоит из двух составляющих. Первая составляющая это δ – функция с площадью , расположенная на оси ординат, а вторая – экспонента, рассматриваемая для

t ≥0. Переходная h(t) и весовая w(t) функции приведены на рис III. 21,а и в, соответственно.

а) в)

Рис. III.21. Временные характеристики реального дифференциального звена.

Частотная передаточная функция W(j ) найдется из (III.1.10)

.

Отсюда

φ φ₁(ω) – φ₂(ω).

Имея в виду, что при очень большой частоте, т.е. при → ∞, в подкоренном выражении для A( ) можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым, получаем

.

Построим АЧХ и ФЧХ реального дифференциального звена, а по ним и АФХ (рис. III.22).

Выражение для точной ЛАЧХ звена имеет вид

Как видно из (III.1.10) звено имеет одну постоянную времени Т и,

значит, одну сопрягающую частоту [c^-1]. Эта частота _с разобьет

а) б) в)

Рис. III.22. АЧХ (а), ФЧХ (б) и АФХ (в)

реального дифференцирующего звена.

ось частот на два участка (рис. III.23).

I участок

или T<1.

Выражение для первой асимптоты, исходя из этого условия, найдем из выражения точной ЛАЧХ L( ), если в подкоренном выражении пренебрежем вторым слагаемым по сравнению с первым

.

Это уравнение прямой, проходящей с наклоном +20 . Точку, через которую проходит первая асимптота, найдем следующим образом. Для любой частоты ^* вычислим по этой формуле L₁( ^*) и через эту точку проведем первую асимптоту с наклоном +20 . Удобнее всего брать ^*=1 (тогда 20 = 0), независимо от того, на I-м или II-м участках расположена эта частота. Затем через точку L₁( =1) проводят на I участке первую асимптоту (на рис.II.23 взято к=100) с наклоном +20 до пересечения с вертикальной линией, проходящей через .

II участок

или T>1.

Тогда выражение для второй асимптоты получится из L( ), если в подкоренном выражении для точной ЛАЧХ пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым

Это линия, не зависящая от частоты, т.е. проходящая параллельно оси абсцисс через конечную точку первой асимптоты.

Рис. III.23 ЛАЧХ реального дифференцирующего звена.