III.1.1. Безынерционное звено

Самым простейшим звеном является безынерционное, которое не

только в статическом, но и динамическом режиме описывается

алгебраическим уравнением.

z(t)=k·x(t) (III.1.1)

Предполагается, что передача сигнала от входа к выходу производится мгновенно, без какой либо инерции. Поэтому такое звено называют безынерционным. Примерами таких звеньев являются механический редуктор, безынерционный операционный усилитель, делитель напряжения, рычажная передача и т.п.

После применения к алгебраическому уравнению (III.1.1) преобразования Лапласа

,

получим передаточную функцию звена

.

Рассмотрим сначала временные характеристики безынерционного звена. Как уже говорилось в п.9 гл.II., переходная функция звена h(t) есть его реакция на единичный скачок 1(t), поэтому согласно (II.9.1)

.

В выражениях для переходных характеристик h(t) имеется сомножитель

Этот сомножитель вводится для того, чтобы подчеркнуть, что h(t), являясь следствием приложения ко входу звена в момент времени t = 0 единичного скачка 1(t), может существовать (не быть равной нулю) только при t ≥0. Для моментов времени t < 0, когда 1(t) = 0, т.е. когда скачок еще не приложен, реакция на него h(t <0) равна нулю.

Если на одном рис. III.2 поместить рядом входной единичный скачок x(t) = 1(t) звена и выходной z(t) = h(t) = k1(t),

Рис. III.2. Единичный скачок и переходная функция

безынерционного звена.

то легко понять, что параметр k, входящий в выражение для передаточной функции и в уравнение (III.1.1) есть коэффициент усиления безынерционного звена.

Импульсная переходная или весовая функция звена w(t) есть его реакция на единичный импульс δ(t). Поскольку , то (см. [7])

.

Таким образом, если на вход безынерционного звена подать импульс δ(t) бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды с площадью, равной единице, то на выходе получится такой же импульс, но с площадью, равной k, т.е. .

Чтобы получить частотные характеристики звена, надо в его передаточной функции провести замену . Тогда получится частотная передаточная функция безынерционного звена

где k – Re W(j ω),

0 – Jm W(j ω).

Амплитудная частотная А(ω) и фазовая частотная φ(ω) характеристики звена легко определяются

,

φ .

Эти зависимости приведены на рисунке III.3

а) б)

Рис. III.3. АЧХ и ФЧХ безынерционного звена.

Из рис. III.3.а видно, что безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ∞. Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассматриваемых ниже, например, инерционное или колебательное, если можно пренебречь влиянием динамических (переходных) процессов в этом звене.

Амплитудно-фазовая характеристика безынерционного звена отличается тем, что для всех ее точек, соответствующих частотам от 0 до ∞, фазовый угол φ(ω) = const = 0 и АЧХ А(ω) = const = k, т.е. АФХ звена представляет собой точку на оси абсцисс плоскости Гаусса, отстающую от начала координат на расстояние k (рис. III.4).

Для построения ЛАЧХ безынерционного звена воспользуемся зависимостью . Это уравнение прямой, проходящей на расстоянии от оси абсцисс параллельно ей, т.е. независимо от

Рис. III.4. АФХ безынерционного звена.

частоты (рис.III.5)

Рис. III.5. ЛАЧХ безынерционного звена для k =1000