Реакция шероховатой поверхности. Угол и конус трения

Реакция идеально гладкой поверхности, как известно, независимо от приложенных к телу сил, направлена по нормали к касательной плоскости (рис. 1.11 б). Реакция же реальной (шероховатой) поверхности состоит из двух сил: нормальной реакции и силы сцепления или силы трения (рис. 8.3).

Рисунок 8.3

Сила сцепления при этом, как мы убедились из опыта (рис. 8.1), – величина переменная. Поэтому, полная реакция шероховатой поверхности образует угол с нормалью к поверхности. Тангенс угла сцепления равен коэффициенту сцепления (8.3)

Угол сцепления можно определить экспериментальным путем. Прибор для определения угла трения, а значит и коэффициента трения, очень простой. Он состоит из наклонной плоскости ОА (рис. 8.4), на которую помещают тело из того материала, коэффициент трения которого с материалом наклонной плоскости хотят определить.

Рисунок 8.4

Угол наклона α плоскости к горизонту можно менять. Зафиксируем угол α, при котором тело находится в предельном состоянии покоя (следовательно, сила сцепления достигла максимального значения).   Определим значение угла α.

Для этого составим уравнения равновесия сходящейся плоской системы сил, которая прикладывается к телу (формула (2.6)). Ось Ох направим по стержню ОА, ось Оy перпендикулярна к стержню

Имеем Вместе с этим, поэтому

. (8.4)

Величину коэффициента f для соответствующих материалов (тело – плоскость) можно определить по таблице тангенсов.

Полная реакция поверхности на тело будет менять свое направление, если будут попытки сдвинуть тело 1 (рис. 8.3) в разных направлениях по поверхности. Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то конус трения – круговой. Если коэффициент трения в разных направлениях неодинаков (напр., для деревянной поверхности) – конус трения будет некруговым. Некоторые задачи на равновесие с учетом сил трения рационально решать с помощью конуса трения или угла трения.

Пусть активные силы, которые действуют на тело, приводятся к одной силе , которая образует угол с нормалью (рис. 8.5).

Реакция шероховатой поверхности на тело состоит из двух составляющих и .   Уравнения предельного равновесия, когда сила не сдвинет тело с места, имеют вид

Рисунок 8.5

Независимо от величины активной силы , имеет место зависимость между углами в случае предельного равновесия Если активная сила приложена вне угла трения (рис. 8.6), то есть тогда – тело сдвинется с места.

Вывод.

Никакая (достаточно большая) сила не «выведет» тело из равновесия, если ее линия действия (рис. 8.5) проходит внутри конуса трения.
Рисунок 8.6	Для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, которые действуют на тело, проходила внутри конуса трения, или по его образующей через вершину конуса.

Пример. Рассмотрим равновесие тяжелого бруса АВ, который опирается на две шероховатые плоскости в точках А и В (рис. 8.7). Коэффициенты трения и известны, поэтому можно показать углы трения и , отложив их от нормалей к плоскостям, на которые опирается брус.

Рисунок 8.7

Если из точки А провести линии , а из точки В провести линии , получим границы конусов трения для горизонтальной и вертикальной опорных плоскостей. Четырехугольник, образованный этими линиями, внутри которого будут пересекаться линии действия реакций опор в точках А и В, называют областью равновесия для данной задачи.

Брус находится в равновесии под действием трех сил : силы тяжести , реакций опор в точках А и В. Силы должны лежать в области равновесия, потому что при равновесии тела под действием трех сил - силы пересекаются в одной точке (п. 2.3). Поэтому равновесие будет только в том случае, когда линия действия силы тяжести пересекает область равновесия. Если линия действия силы пройдет через точку К – это предельное состояние покоя.

Трение качения

Если тело имеет форму цилиндрического катка и под действием активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации опорной поверхности этих тел в месте контакта возникают силы реакции, которые мешают как скольжению, так и качению.

Пусть к оси катка весом приложена горизонтальная сила (рис. 8.8). Контакт катка с плоскостью из-за деформации происходит не в одной точке, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке DЕ. Точка приложения сил и будет находиться в некоторой точке Е этой площадки. Эта точка будет сдвинута по сравнению с точкой D в направлении возможного движения тела.

Изображенную на рис. 8.8 схему сил можно рассматривать, как систему двух пар сил ( , ) и ( , ). Имеем уравновешенную систему пар

Пара сил ( , ) стремится привести каток в движение; пара сил ( , ) создает сопротивление качению.

Момент пары сил ( , ) называется моментом сопротивления качению. Таким образом, реакция плоскости на каток состоит из нормальной реакции , касательной реакции и из пары трения качения ( , ).

Пренебрегая глубиной впадины, на которую деформировал каток поверхность, имеем: у пары сил ( , ) плечо равно радиусу катка, а у пары сил ( , ) плечо . При критическом равновесии моменты этих пар по модулю равны между собой и равны моменту сопротивления качению, то есть

. (8.5)

Установлены приближенные законы трения качения.

Первый закон.

. (8.6)

Второй закон.

Коэффициент трения качения равен плечу пары сил сопротивления качению при предельном равновесии катка.

Коэффициент трения качения зависит от материалов контактирующих поверхностей, а также от физического состояния этих поверхностей. Коэффициенты трения устанавливают экспериментально. Некоторые значения коэффициентов трения качения: дерево по стали = 0,0004 м; колесо вагона по рельсу = 5·10^-5 м; резиновая шина по шоссе = 0,0024 м.

На основе рис. 8.9 легко установить условие чистого качения (скольжение отсутствует).

Рисунок 8.9

Скольжение будет отсутствовать, если из-за того, что , то есть , а

Имеем отсюда получим

, (8.7)

что является условием чистого качения цилиндрического тела по поверхности. В этой формуле:

f – коэффициент трения скольжения;

– коэффициент трения качения;

h – расстояние точки приложения активной силы от опорной поверхности.

Как видим, для большинства материалов отношение значительно менше коэффициента трения скольжения . Именно потому в технике, когда это возможно, трение скольжения стремятся заменить трением качения (колёса, катки, шариковые подшипники и т.д.)

Вопросы для самоконтроля по теме 8

1. Если сила сцепления не достигла максимального значения, будет ли иметь задача о равновесии тела единственное решение? Почему?

2. Существует ли сила, линия действия которой лежит внутри конуса трения, которая выведет это тело из состояния покоя? Докажите это.

3. Как в технике используют тот факт, что коэффициенты трения скольжения и трения качения разные?

4. Что называют конусом трения? Что называют углом трения?